VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số:
1 Định nghĩa: Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập nếu. Kí hiệu M = max f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập nếu. Kí hiệu m = min f(z).
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng. Lời giải. Trên khoảng ta có: Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy min f(z) = -3 tại x = 1. Không có giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng.
2. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Định lí 1. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn. Nhận xét. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) giữ nguyên dấu trên đoạn thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Quy tắc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau: Tìm f'(x) và tìm các điểm C1, C2, …, Cn trên khoảng [a; b] mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(6). Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2]. Lời giải. Ta có: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (0; 1). Lời giải. Trên khoảng (0; 1), ta có f'(x). Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; 1) hàm số không có giá trị lớn nhất, cũng không có giá trị nhỏ nhất. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Cho hàm số y = f(x). Phương pháp miền giá trị. Xem y = f(x) là phương trình đối với ẩn số và là tham số; Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm; Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m < 0 < M. Xét dấu “=” xảy ra và kết luận. Phương pháp đạo hàm: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x); Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Phương pháp dùng bất đẳng thức. Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f(x) < M hoặc f(x) > m. Phải chỉ ra tồn tại sao cho f(1) = M, f(z) = m.