VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số:
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số Phương pháp giải: Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số y = f(x) Bước 2: Tìm giới hạn của f x khi x tiến đến biên của miền xác định. Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận. Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số f x y g x ta có thể làm như sau: – Bước 1: Tìm tập xác định D. – Bước 2: +) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim lim x x y y +∞ −∞ và kết luận tiệm cận ngang. +) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức f x g x về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.
Chú ý: – Nếu bậc của f x nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g x thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. – Nếu bậc của f x lớn hơn bậc của thì g x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau: a) 2 2 1 x y C x b) 2 2 2 51 5 4 x x y C x x Lời giải a) TXĐ: D 1 1. Ta có: 2 2 2 2 2 1 2 lim lim lim 0 0 x x y y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mặt khác 1 limx y ∞ và (1) limx y ∞ nên x = 1 và x = −1 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) TXĐ: D 1 4. Ta có: 2 1 1 2 51 lim lim nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của (C). Tương tự đường thẳng x = 4 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có: 51 lim lim lim 2 5 4 5 4 1 x x nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau a) 2 3 2 1 x x y x Lời giải a) TXĐ: D 3 1. Ta có: 2 3 2 lim lim 0 0 x x 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mặt khác 34 7 lim 1 x 1 32 8 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ta có: 2 1 1 3 2 lim lim 1 x x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) TXĐ: D. Ta có: 2 2 4 3 lim lim. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Lại có: 74 1 3 74 1 1 3 x x. Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −3. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có 0 lim x f x −∞ và 2 lim x f x −∞. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y = 0 và y = 2. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 0 và x = 2. Lời giải Ta có 0 lim x f x −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 0 Lại có 2 lim x f x −∞ ⇒ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 2. Chọn D. Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 1 x y x Lời giải TXĐ: D. Ta có: (-1) lim 1 x y x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác 2 1 lim lim 2 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng x = 2 và y = 1 là các đường tiệm cận? Lời giải: Đồ thị hàm số ax b y cx d với ad bc 0 nhận d x c là tiệm cận đứng và a y c là tiệm cận ngang. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 2 2 32 y x x. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1 2 y. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2. C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x x 1 3. Lời giải TXĐ: D 1 3. Ta có 3 2 2 2 32 lim lim lim 2 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Lại có: y y ∞ do đó x x 1 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây không có tiệm cận ngang? Lời giải: Ta có 2 1 1 lim x x y x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Chọn A. Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 3 4 16 x x. A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải: TXĐ: D 4. Khi đó: Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = −4. Chọn D. Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 y x A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải TXĐ: D. Khi đó lim 1 5 4 4 1 4. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 1. Chọn A. Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 x 9 3 y x x là?