VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác:
Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Miền giá trị: 2 2 1 sin 1 1 cos 1 0 sin 1 0 cos 1 kx kx * Với hàm số 2 2 y a x b x a b y a b sin cos * Với hàm số sin cos a x b x c y m x n x p nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 2 y x 4sin 4sin 3 b) 2 y x x cos 2sin 2.
Lời giải: a) 2 2 y x 4sin 4sin 3 2sin 1 2. Ta có: 2 1 sin 1 3 2sin 1 1 0 2sin 1 9 2 9 x y max 9 sin 1 2 2 1 5 min 2 sin 2 b) 2 y x cos 2sin 2 sin 2sin 3 4 sin 1. Ta có: 1 sin 1 2 sin 1 0 0 2sin 1 4 0 4 x x x y max 4 sin 1 2 2 min 0 sin 1 2 y x x k k l y x x l. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 4 2 y x x sin 2cos 1 b) y x x 3 sin 2 cos 2.
Lời giải: a) 2 4 2 4 2 2 y x x sin 2cos 1 sin 2sin 1 sin 1 2. Ta có: 2 0 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1 2 1 2 x y max 2 sin 1 2 2 min 1 sin 0 y x x k k l y x x l. b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 y x x y 3 sin 2 cos 2 3 1 sin cos 4 2 2 sin 2 cos 2 max 2 0 3 1 6 sin 2 cos 2 min 2 0. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x sin 3 cos 3.
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 sin 3 cos 1 3 sin cos 4 2 sin 3 cos 2 1 5 x sin cos max 5 0 2 1 6 3 sin cos 5 min 1 0 2 1 6 3. Ví dụ 4. Cho hàm số 2sin 2 3 y x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Lời giải: Ta có: 1 sin 1 2 2sin 2 3 3 x x 4 2sin 2 0 4 0. Chọn C. Ví dụ 5. Hàm số y x x 5 4sin 2 cos 2 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
Lời giải: Ta có y x 5 4sin 2 cos 2 5 2sin 4. Mà 1 sin 4 1 2 2sin 4 2 3 5 2sin 4 7 x x y y nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C. Ví dụ 6. Hàm số sin sin 3 y x x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: Áp dụng công thức sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b ta có sin sin 2cos sin cos. Ta có 1 cos 1 1 6 y x y. Chọn C.
Ví dụ 7. Hàm số 4 4 y x x sin cos đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Lời giải: Ta có 4 4 2 y x sin cos sin cos sin cos cos 2. Mà 1 cos 2 1 1 cos 2 1 1 1 x x y. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Đẳng thức xảy ra cos 2 1 2 2 x x k x k k. Chọn B. Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 4sin 2 sin 2 4 y x x.
Lời giải: Ta có 2 1 cos 2 4sin 2 sin 2 4 sin 2 cos 2 4 2 x y x sin 2 cos 2 2 2 sin 2 2 4. Mà 1 sin 2 1 2 2 2 sin 2 2 4 4. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2. Chọn D. Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6 y x x sin cos. Lời giải: Ta có 2 6 6 2 2 x sin cos sin cos 3sin cos sin cos. Mà 1 5 3 1 1 cos 4 1 cos 4 1 1 4 8 8 4 x x y. Chọn C.
Ví dụ 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y x x 8sin 3cos 2. Tính 2 P M m 2. Lời giải: Ta có 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin 3. Mà 2 1 sin 1 0 sin 1 3 2sin 3 5 x x M y P M m m. Chọn A. Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y x x 2sin 3 sin 2. Lời giải: Ta có 2 y x 2sin 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 3 1 3 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1. Mà 1 sin 2 1 1 1 2sin 2 3 1 3. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B.