VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá để giải bất phương trình logarit, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá để giải bất phương trình logarit:
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá. Cho hàm số y ft xác định và liên tục trên D: Nếu hàm số f t luôn đồng biến trên D và u v D thì fu fv u v ⇔ Nếu hàm số f t luôn nghịch biến trên D và u v D thì fu fv u v. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: a) 2 3 x log x 1 log x 9 1 b) 2 2 2 2x 1 2x 10x 10 log. Lời giải: a) Điều kiện x 1 BPT 2 3 2 3 1 1 x log x 1 log x 9 1 g x 2x log x 1 log x 9 2 2 2 đồng biến trên BPT ⇔ gx g0 x 0. Vậy nghiệm của BPT là (0;+∞).
b) Điều kiện 1 x 2 2. Khi đó: BPT 2 2 2x 1 2x 1 2 x 2 log x 2 2 log 2 2. Xét f t 2t log t t 0 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có: 2 2 2x 1 2x 1 f x2 g x2 2 2. Đáp số: 5 75 7 1 x x 22 2. Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình x x 2 3 log 2 3 log 4 2 3 là: A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số. Lời giải: Xét hàm số x x 2 3 f x log 2 3 log 4 2 x ta có: f0 3. Mặt khác x x 2 4 ln 4 f x 0 x f x đồng biến trên R. Do đó BPT ⇔ fx f0 x 0. Vậy nghiệm của BPT là: x 0. Chọn D.
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp số nguyên x thỏa mãn 2 x x2 log x 4x 3 2x 3x 5. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. T = 2 B. T = 5 C. T = 3 D. T = 6. Lời giải: Bất phương trình 2 2 log x x 2 log 2x 3x 5 2x 3x 5 x x 2 log x x 2 x x 2 log 2x 3x 5 2x 3x 5. Xét hàm 2 f t log t t 0. Ta có: 1 f t 1 0 t 0 t ln 2. Hàm f đồng biến trên (0;+∞). Do đó: 2 f x x 2 f 2x 3x 5 x 2 2x 3x 5 x 4x 3 0 1 x 3. Kết hợp x x 1 2 3 T 6. Chọn D. Ví dụ 4: Giải bất phương trình 2 4x 1 log 2 x x x 2 ta được tập nghiệm b c S a 2 với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức Tabc.
Lời giải: Điều kiện x 0. Khi đó BPT ⇔ 2 log x 1 2 x x log x 2 2 2 log x 1 2x log x 1 1 2 x 1 f x f x 1 2 2. Xét hàm số f t log t 1 2t 2 trên [0;+∞) ta có: 1 f t 2 0 t 0 t 1 ln 2 vì (t 1 2ln 2 1 t 0). Do đó nghịch biến trên khoảng [0;+∞). Khi đó BPT x 0 3 5 fx f x 1 x x 1 0 15 15 x 2 2 2. Suy ra a = 0; b = 3; c = 5 ⇒ T 8. Chọn C.