Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá giải phương trình mũ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá giải phương trình mũ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá giải phương trình mũ:
Phương pháp 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá Để giải các bài toán bằng các phương pháp này ta cần ghi nhớ một số kiến thức sau: Kiến thức về hàm số: Hàm số f t đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng) thì uv D f u f v u v. Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm 1 2 n aa a thì ta có: 1 2 1 2 n n a a a n aa a.
Dấu bằng xảy ra 1 2… n ⇔ aa a. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực 1 2 n aa a và 1 2 n bb b ta có: 1 2 1 2 11 2 n n a a a b b b ab ab ab. Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2… n n a a a bb b. Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a b ab dấu bằng xảy ra ⇔ ab 0. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau (phương pháp hàm số) a) 2 2 32 2 2 3 2 9 64 3 5 x x. b) 22 1 2 3 23 1 x x. Lời giải: a) 6 64 2 4 6 64 2 3 62 3 5. Đặt 2 u x xv x 46 ta có: 23 23 uu vv u v (1).
Xét hàm số: 2 3 t t ft t t ta có: 2 ln 2 3 ln 3 1 0 t t f t t. Do đó (1) 2 1 4 6 6 x fu fv u v x x. Vậy phương trình có nghiệm là x x 1 6. b) Ta có: 22 1 1 2 3 22 3 1 x x x PT x. Xét hàm số: 2 3 t t ft t t ta có: 2 ln 2 3 ln 3 1 0 t t f t. Khi đó: (2 1 2 1 2 10) xx x f f x x gx x. Ta có: 2 2 ln 2 1 2 ln 0 x x gx g x x. Do g x 0 nên phương trình có tối đa 2 nghiệm, mặt khác ta thấy g g (0 10). Vậy phương trình có nghiệm là x x 0 1.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau (phương pháp phân tích nhân tử). a) 2 2 4 40 xx b) 2 1 1 422 1 xx. Lời giải: a) 2 1 0 xx PT. Vậy phương trình có nghiệm là x x 0 1. b) Đặt 2 1 0 u v uv u v u x x. Vậy phương trình có nghiệm là x x 0 1. Ví dụ 3: Giải các phương trình sau (phương pháp đánh giá): a) 2 11 414 4 4 x x x x b) 3 2 2 3 3. Lời giải: a) Áp dụng BĐT: a b ab (dấu bằng xảy ra ⇔ ab 0) Ta có: 4 1 41 44 4 144 3 x x VP. Dấu đẳng thức xảy ra (4 144 0) ⇔ x.
Mặt khác ta có: 2 2 11 1 1 3 3 VT VT = VP 4 2 2 xx. Vậy 1 2 x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 1 1 2 3 2 3 x x VP cos VT. Dấu đẳng thức xảy ra 3 3 2 x x cos cos. Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 4: Giải các phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn). a) 2 2 9 3 3 2 2 0 x. b) 2 2 3 1 4 3 6 3 1 0 x x. Lời giải: a) Đặt 2 3 0 x t ta có: 22 2 t x tx 3 2 20. Khi đó: 2 2 42 2 ∆. Do đó: t x x t x.
Với 2 3 2 3 2 log 2 x t x. Với 2 2 13 1 x t x. Ta có: 2 0 3 31 x VT VP nên VT VP x ⇔ 0. Vậy nghiệm của phương trình là: 3 x x 0 log 2. b) 2 2 3 1 4 3 6 3 1 0 x x PT x. Khi đó: Do vậy (2) 6 3 0 x ⇔ gx = x (3). Ta có: 1 6 3 ln 3 0 x g x. Do đó hàm số g x đồng biến trên R ta có: (3) gx g x. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 1 2 x x. Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình 761 x x là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải: Xét hàm số 761 x fx x trên tập ta có: 7 0 6 7 ln 7 6 0 log ln 7. Lại có: lim lim x. Suy ra BBT: Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn C. Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình 2 2 1 22 1 x x là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải: Xét hàm số 2 2 ln 2 1 0 t t ft là hàm đồng biến trên R. Khi đó (*) 2 2 fx fx x x 1 11. Chọn B. Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình 2 31 2 2 2 1 30 xx x x x là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.