VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá giải bất phương trình mũ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá giải bất phương trình mũ:
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D: Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và u v D thì f (u) f(v) u v. Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và u v D thì f (u) f(v) u v. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: a) 2 3 32 0 4 2 x x b) 4 5 0 2 6 x x. Lời giải: a) ĐK: 1 2 x. Xét 2 3 32 x g x x với x ta có: 2 3 ln 3 2 0 x g x x. Do vậy hàm số g(x) nghịch biến trên R ta có: gx gx g x ⇔ 0 22 gx x ⇔ 0 2. Khi đó BPT 4 20 2 1 2 0 2 2 x x g x.
Vậy nghiệm của BPT là: 1 2 2 b) Xét 4 5 x gx x và 2 6 x fx x trên R ta có: 4 ln 4 1 0 f x. Do vậy hàm số f x g x đều đồng biến trên R. Khi đó BPT 0 1 1 0 2 gx gx gx gx g x fx fx. Vậy nghiệm của BPT là x 2 x 1. Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: a) 1 2 1 3 22 1 x b) 1 424 2 6 x x. Lời giải: a) BPT 1 2 1 2 ⇔ x x. Xét hàm số 2 1 2 1 ln 2 1 1 0 t t R. Do vậy hàm số f t đồng biến trên R. Ta có: fx f x x. Vậy nghiệm của BPT là: x ≤ 1. b) Đặt 1 2 1 2 6 62 x x y x xy.
Khi đó BPT 2 1 2 4 2 4 6 2 4 3 x y y ⇒ 2 2 21 21 x x ⇔ y y. Xét hàm số f t đồng biến trên (0;+∞). Do vậy BPT 1 21 21 21 2 6 x x xx f fy y x ⇔ 1 1 4 2 12 6 4 5 xx. Xét hàm số 4 5 x g x đồng biến trên R BPT ⇔ gx g x 51 1. Vậy x ≥ 1 là nghiệm của PT. Ví dụ 3: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 252 10 5 25 x xx là? A. T = 5 B. T = 3 C. T = 2 D. T = 1. Lời giải: Ta có: 252 10 5 25 25 2 1 5 2 1 x x. Kết hợp xx T {0;1;2;3}. Chọn B. Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 6 22 3 3 2 80 xx là?
Lời giải: Ta có: BPT 2 6 2 2 3 63 2 x x. Xét hàm số 3t ft t trên tập R. Khi đó 3 ln 3 1 0 t f t R suy ra f t đồng biến trên R. Do đó 2 22 fx x fx x 6 2 6 2 2 80 ⇔ 2 4 x BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C. Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 47 57 2 2 2 9 14 0 xx x là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8. Lời giải: Ta có: BPT 2 47 2 5 7 2 4 72 5 7 x x. Xét hàm số 2t ft t trên tập R. Khi đó 2 ln 2 1 0 t f t x R suy ra f(t) đồng biến trên R. Do đó 2 22 fx x f x 2 7 x BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn B.
Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x x 1 2 x 1 2017 2017 2018x 2018 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Điều kiện x ≥ −1 BPT 2x x 1 2 x1 2017 1004 2x x 1 2018 1004 (2 x 1) (*). Hàm số t f(t) 2017 1004t đồng biến trên R nên (*) ⇔ 2 1 2 1 11 xx. Do đó BPT có 3 nghiệm nguyên. Chọn C.