VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0):
I. HÀM SỐ BẬC BA: 3 2 y ax bx cx d (a ≠ 0) 1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị Giới hạn: – Với a 0 thì limx y +∞ +∞ và limx y −∞ −∞. – Với a 0 thì limx y +∞ −∞ và limx y −∞ +∞. Đạo hàm và cực trị: 2 y ax bx c 3 2. Khi đó: – Hàm số có hai điểm cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 0 y ∆. Gọi Ax y và Bx y là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: 2 1 2 2 3 3 b x x a c x x a – Hàm số không có cực trị khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 y ⇔ ∆ ≤ 0. Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta luôn có CĐ CT y y và: – Nếu a 0 thì CĐ CT x x. – Nếu a 0 thì CĐ CT x x.
2. Bảng biến thiên TH1: Hàm số có hai điểm cực trị 1 2 x x. x −∞ 1 x 2 x +∞ y′ + 0 − 0 + y −∞ CĐ CT +∞ x −∞ 1 x 2 x +∞ y′ − 0 + 0 − y +∞ CT CĐ −∞. Hệ số a 0 Hệ số a 0 TH2: Hàm số không có điểm cực trị x −∞ +∞ y′ y −∞ +∞ x −∞ +∞ y′ y +∞ −∞ Hệ số a 0 Hệ số a 0 3. Đồ thị hàm số a 0 a 0 0 y ∆ CĐ CT x x CĐ CT x x 0 y ∆. 4. Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: 3 2 y ax bx cx d (a ≠ 0) ta làm như sau: Ta có 2 y ax bx c 3 2. Dựa vào limx y +∞ để xác định hệ số a.
Nếu a 0 thì nhánh cuối của đồ thị đi lên x y; tiến về vô cùng. – Nếu a 0 thì nhánh cuối của đồ thị đi xuống x → +∞ và y → −∞. Dựa vào giao điểm với trục tung (0;d) suy ra tính chất của hệ số d Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình y′ = 0 Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị hàm số. Trong trường hợp đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 x x; ta có: 1 2 1 2 2 3 3 b x x a c x x a (định lý Viet). Khi đó dựa vào 1 2 2 3 b x x a suy ra tính chất của b; dựa vào 1 2 3 c x x a suy ra tính chất của c.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án B và C. Mặt khác limx y +∞ +∞ nên hệ số. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau? Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy limx y +∞ +∞ ⇒ Hệ số a 0 do đó loại B và C. Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x x 0 2 nên loại D. Chọn A.
Ví dụ 3: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0 0 d d) ⇒ nên ta loại đáp án C lim 0 x y a +∞ +∞ ⇒ nên ta loại đáp án D. Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 2 x x dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2 x x trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B. Chọn A. Ví dụ 4: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Lời giải Hàm số có hệ số a 0 do limx y +∞ −∞ nên loại đáp án C.
Hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 x x 0 nên y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. Xét đáp án A. 3 2 2 0 3 1 3 60 2 x yx x y x x (loại). Xét đáp án D. 3 2 yxx y x x x 31 3 3 0 R (loại). Chọn B. Ví dụ 5: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số 3 2 y ax bx cx d. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim 0 x y a +∞ +∞ đồ thị hàm số đi qua điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 2 x x dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2 x x 0 0 Mặt khác: 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 a y ax bx c. Chọn A.
Ví dụ 6: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số 3 2 y ax bx cx d. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim 0 x y a +∞ +∞ ⇒ đồ thị hàm số đi qua điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 2 x x dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2 x x 0 0 và 1 2 x x 0 Mặt khác: 0 1 2 2 x x b a y ax bx c. Chọn B. Ví dụ 7: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số 3 2 y ax bx cx d. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim 0 x y a +∞ −∞ ⇒ đồ thị hàm số đi qua điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 2 x x dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2 x x 0 0.
Ví dụ 8: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số 3 2 y ax bx cx d. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim 0 x y a +∞ -∞ ⇒ (loại đáp án A). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0 0 d d) ⇒ Hàm số có 2 điểm cực trị trong đó 1 2 0 0 x x nên y′ = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn 1 2 0 0 x x. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d có các điểm cực trị thỏa mãn x x 1 2. Biết hàm số đồng biến trên khoảng (x x 1 2) đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Lời giải Dựa vào giả thiết, ta có các nhận xét sau: – Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ âm f d 0 0 – Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng là điểm cực tiểu và 2 x điểm cực đại.