Tìm m để đồ thị hàm số bậc ba đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm m để đồ thị hàm số bậc ba đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm m để đồ thị hàm số bậc ba đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K:
Loại 3: Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K. Phương pháp giải: Xét hàm số 3 2 y ax bx cx d. Khi 2 y ax bx c 3 2 0 có hai nghiệm phân biệt ta gọi Ax y 1 1 và Bx y 2 2 là tọa độ hai điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 b x x a c x x a. Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được y ygx hx. Khi đó y y x gx hx hx 1 11 1 và y y x gx hx hx 2 22. Chú ý: Độ dài đoạn thẳng 2 2 12 12 AB x x y y OA OB x y x y. Tam giác CAB vuông tại C thì CACB 0. Công thức diện tích 1 2 ∆ CAB S d C AB AB CAB.
Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3 2 1 4 3 1 7 3 y x m x mm x. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại 1 2 x x sao cho 2 2 1 2 x x 8. Lời giải: Ta có: 2 y x m x mm x 2 2 1 4 3 1. Đặt 2 fx x m x m m 1 2 3 1. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f x 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1 0 1 8 3 1 0 25 10 1 0 5 1 0 ∆ f x m. Khi đó gọi Ax y 1 1 Bx y 2 2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình f x 0 suy ra 1 2 1 2 xx m.
Từ giả thiết, ta có xx 8 2 8, kết hợp với (*) ta được 1 4 1 3 8 2 m m. Đối chiếu với điều kiện 1 5 m nên 7 1 13 m m là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 22 3 4 1 3 5 1 2 y x m x m mx m. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị lớn hơn −4. Lời giải Ta có: 2 2 y x m x mm x 3 34 1 35. Đặt 2 2 fx x m x m m 41 5. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm phân biệt 4 5 36 12 1 6 1 0. Khi đó gọi Ax y 1 Bx y 2 2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình f x 0 suy ra 1 2 5 xx m.
Từ giả thiết, ta có 4 40 4 4 0 4 16 0 x x. Kết hợp với (*) ta được 2 2 4 1 8 4 9 4 9. Đối chiếu với điều kiện 1 6 m nên suy ra 1 1 1 4 6 6 m là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 3 2 3 2 1 y x m m x. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 2 2 1 2 12 x x. Lời giải: Ta có: 2 2 y x m x. Đặt 2 2 fx x m x. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 24 25 30 9 5 3 0 ∆ f x m m. Khi đó gọi Ax y 1 1 Bx y 2 2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình f x 0 suy ra 2 3 22.
Từ giả thiết, ta có 2 2 16 16 0 9 9. Kết hợp với (*) ta được 2 2 2 3 16 3 39 mm 22 3. Đối chiếu với điều kiện 5 3 m nên suy ra m = −1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số 2 1 3 2 2 3 3 1 y x m m. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 3 2 10 CĐ CT x x. Lời giải Ta có: 2 2 y x m xm m x 2 3 3. Đặt 2 2 fx x m x m m 2 3 3. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 0 2 3 4 3 90 f x m m. Khi đó gọi Ax y 1 1 Bx y 2 2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có b m x m a. Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba 1 0 3 a do đó suy ra 1 2 3 CT CĐ xx m.
Từ giả thiết, ta có 3 2 10 CĐ CT x x. Kết hợp với (*) ta được 3 3 m m 2 3 10 2 4 0 2. Đối chiếu với điều kiện m nên suy ra m = −2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 1 3 2 2 1 x y x m m. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 2 2 3 1 CT CĐ x x. Lời giải Ta có: 2 2 y x m x. Đặt 2 2 fx x m x m m 21. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 0 2 1 4 10 ⇔ ∆ f x m m. Khi đó gọi Ax y Bx y lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị. Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba 1 0 3 a do đó suy ra 1 2 1 (*) CT CĐ xx m xx m. Từ giả thiết, ta có 2 2 3 1 CT CĐ x x. Kết hợp với (*) ta được 2 2 2 1 3 1 1 4 6 20 1 m m. Đối chiếu với điều kiện m nên suy ra 1 1 2 m là giá trị cần tìm.
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 y x m x mx C 21 2. Tìm m để hàm số có 2 cực trị tại 1 x và 2 x thỏa mãn 2 2 12 1 2 A xx 43 2. Lời giải Ta có: 2 y x m xm 3 2 2 1 0 (1). Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị ⇔ PT(1) có hai nghiệm phân biệt 2 2 ⇔ ∆ 2 1 3 0 4 10 m m. Khi đó gọi 1 2 x x là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: 22 1 3 3 m x x m. Do vậy 12 1 2 12 1 2 12 42 1 2 43 2 3 2 m m A xx. Vậy 1 1 8 m m là các giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2 y x x mx C 3 3 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị tại 1 x và 2 x sao cho 1 2 2 5 x x. Lời giải Ta có: 2 2 y x x m x xm 3 6 3 0 2 0 (1). Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị ⇔ PT(1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ 1 0 1 m m. Khi đó gọi 1 2 x x là hoành độ các điểm cực trị.