VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp:
Phương pháp giải. Mặt cầu một tiến hành đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu. Ví dụ 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương; b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương; c) Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.
Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D. a) Ta có: O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính r = d. b) Ta có: A cách đều 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi H là trung điểm của cạnh AA’. Ta có OH = AC = 2. Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính a = OH. Ta có: O cách đều 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Ta có OI = a. Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính IB = 3.
Ví dụ 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c. a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp; b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. a) Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D. Ta có: O cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính R = 2 b) Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên có tâm là trung điểm I của AC và có bán kính là T.
Ví dụ 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc La (0° < a < 90°). Xác định tâm và tính theo a và e bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp đó. Gọi H là tâm của tam giác đều ABC, ta có SH // (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, ta có SM // BC là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Do đó, ta có SMA = a. Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC, khi đó IE // SH. Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nên MI là đường phân giác của góc SMA. Khi đó, ta có IH là bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC. Tam giác IHM vuông tại H có IMH = 8 nên IH = MH.