Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện. Các khái niệm cần lưu ý: Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: Là mặt cầu mà nó đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện. Trục của đa giác: Là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác. Mọi điểm nằm trên trục thì cách đều các đỉnh của đa giác và ngược lại. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: Là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai điểm mút của đoạn thẳng và ngược lại.
Phương pháp giải: Đối với bài toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện thì mấu chốt của vấn đề là phải xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đó. Khi xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp thì ta có thể tính được các yếu tố còn lại như bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu… Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2, 4, 4 với R bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng. Hướng dẫn giải. Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A’B’C’D’. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R.
Bài tập mẫu. Cách 1. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu. Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với A. I là trung điểm của đoạn thẳng SD. B. I là trung điểm của đoạn thẳng AC. C. I là trung điểm của đoạn thẳng SC. D. I là trung điểm của đoạn thẳng SB. Từ (1), (2) và (3) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của đoạn thẳng SC.
Bài tập 2. Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD. Vậy thể tích khối cầu cần tìm là. Lưu ý: Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp. Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là. Chứng minh tương tự như bài tập 2 ta được kết quả ba đỉnh A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là. Ta có ABCD là hình vuông cạnh a. Xét tam giác SAC vuông tại A. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là.
Bài tập 4. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng. Ta có ABC, BCD đều cạnh bằng 2 cân tại C. Gọi I là trung điểm AD. Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại CB. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là R. Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B. Biết bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là. uy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính mặt cầu là.
Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng. Trong tam giác vuông ABC có sin 30. Vì AB và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và AB, và bằng góc B (vì tam giác AB’B vuông tại B). Do đó suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A’C dưới một góc vuông. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng. Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?
Gọi I là giao điểm của AM và SO. Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng. Xét tam giác vuông SAD là đường cao tam giác AF. Chứng minh tương tự nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác AMS nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng. Chú ý: Ta có thể làm như sau. Chứng minh tương tự, ta được AF. Từ đây, suy ra kết quả như cách bên. Cách 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Chú ý: Trong khuôn khổ bài tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến ở đây là đáy của hình chóp hay hình lăng trụ.
Bài tập 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng. Gọi H là tâm của tam giác ABC, SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực của SA qua E là trung điểm của SA và cắt SH tại I. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Xét trong tam giác SAH. Suy ra thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng. Bài tập 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I là trung điểm của IA, IB, IC. Suy ra trung điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a là. Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắ tại I là trung điểm.
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA. Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SA, cắt d tại I. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là. Lưu ý: có thể thay mặt phẳng trung trực của SA bằng đường trung trực của SA xét trong mặt phẳng (SAM). Bài tập 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO.