VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Phương pháp giải. Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp 1. d(I(P)) = R (P) tiếp xúc (S). 2. d(I, (P)) Re (P) không cắt (S). Ví dụ 50. Cho mặt cầu (S) (2 – 1)2 + (-2)2 + (2 – 3)2 = 16 và mặt phẳng (P) x + 2y + 2z + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của (S) và (P). Tâm I(1; 2; 3) Ta thấy mặt cầu (S) có bán kính R = 4. Vậy mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Ví dụ 51. Cho (P) = 0 và A(1; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C) có chu vi bằng 87. Ta có chu vi đường tròn (C) bằng 8m bán kính đường tròn (C) bằng 4. Vậy (S) (x – 1)2 + (x – 2)2 + (x – 3)2 = 52. Ví dụ 52. Cho mặt phẳng (P) 2 + 1 + 2x +3 = 0 và (Q) 20 – 4 – z + 3 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời giao tuyến của (S) với các mặt phẳng (P), (Q) là các đường tròn có bán kính lần lượt là 8, T. Xác định ở sao cho có đúng một mặt cầu thoả mãn yêu cầu Vì có đúng một mặt cầu thoả mãn bài toán nên phải có nghiệm duy nhất. Vậy n = 4.
Ví dụ 53. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c > 0 thoả mãn a+ 2b + 3c = 4. Xác định phương trình mặt phẳng chứa đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 0ABC độc lập với a, b, c. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam diện vuông OABC. Ta có a + 2b + 2c = 4 + 5 + 2 +3 = 2 + c + 2y + 3x – 2 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (a) + 2y + 3x – 2 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 59. Cho phương trình mặt cầu (S) x2 + y2 + x2 – 2x + 4)- 23 – 3 = 0 và hai điểm A(0; 1; 0), B(1; 1; -1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất.
Bài 60. Cho phương trình mặt cầu (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (x )2 = 4. Viết phương trình tiếp diện Với mặt cầu (S) tại M (3; 0; -1). Bài 61. Cho phương trình mặt phẳng (P): 2y – 2z + 6 = 0 và mặt cầu (S) (0 – 1) + (x + 2)2 + z2 = 1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S). Đáp số: (Q): c + 2y – 2z = 0. Bài 62. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A(3; –3; 4) tiếp xúc đồng thời với các mặt phẳng (a), (3) g + 2 = 0. Tâm I của mặt cầu và điểm A thuộc cùng (a) vùng không gian chia bởi các mặt (a), (3).