VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu:
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu: 1. Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H. Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng đi qua H và có một vectơ pháp tuyến là n IH. 2. Bài tập: Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình và mặt phẳng P x yz. Viết phương trình mặt phẳng song song với P và cắt S theo thiết diện là đường tròn C sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất. Mặt cầu S có tâm (1;-2;3), I bán kính R. Gọi H là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh IM = R. Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là 2 r x. Thể tích khối nón là V = x. Khi đó f đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 hay d = I. Chú ý: Công thức tính thể tích hình nón. Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao. Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): 22 2 xy z và điểm (2;2;2). Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB AC AD với mặt cầu B C D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng BCD là?
Ta có mặt cầu S có tâm I (0;0;1) và bán kính R = 2. Do AB AC AD là ba tiếp tuyến của mặt cầu S với BCD là các tiếp điểm nên AB AC AD là trục của đường tròn ngoại tiếp BCD. Khi đó mặt phẳng BCD có một vectơ pháp tuyến (2;2;1). Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp BCD J IA. Ta có IBA vuông tại B và BJ IA nên IJ = IA. Mặt phẳng BCD đi qua J và nhận vectơ pháp tuyến n = (2;2;1) có phương trình: 9 99 x y z x yz. Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S: 2 22 xyz và mặt phẳng 2 2 11 0 Px y z. Xét điểm M di động trên P và các điểm A B C phân biệt di động trên S sao cho AM BM CM là các tiếp tuyến của S. Mặt phẳng ABC luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? Mặt cầu S có tâm I (1;1;1) và bán kính R = 2/3. Xét điểm M thuộc P nên ta có hệ điều kiện: AI AM IM abc xa yb zc a b c. Lấy (1) + (2) ta có: 9 0 a x b y c zabc. Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là: Q a x b y c zabc. Kết hợp với (Q) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).