Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện:
Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện. Phương pháp. Bước 1: Chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc hoặc cạnh thích hợp trong khối đa diện. Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích của khối đa diện theo các phương pháp đã biết. Bước 3: Ta có một hàm số mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức cổ điển (Cô-si hay Bunhiacopxki) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Bất đẳng thức Cô-si. Các bất đẳng thức cơ bản. Các dạng hay sử dụng. Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Dạng đa thức. Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Cho 2 bộ số và ta có. Dấu xảy ra. Dạng phân thức. Cho 2 bộ số và với. Bài tập: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho mặt phẳng tạo với mặt đáy một góc. Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất là. Xét vuông tại có đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Cách 1: Ta có xác định và liên tục trên. Bảng biến thiên. Áp dụng Cô-si cho 3 số dương.
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA các cạnh còn lại đều bằng 1. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là. Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA = x, các cạnh còn lại đều bằng a (a là hằng số) với ta có tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Ta có SAB và SAC là hai tam giác cân tại B và C Và ABC đạt được. Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD. Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là. Gọi H là hình chiều của S lên AB. Do đó V S.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì SAB vuông tại S. Bài tập 3. Khối chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là. Gọi I là tâm hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD. Khi đó tam giác SBD vuông tại S.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC. Tính tổng khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. H là hình chiếu vuông góc của O trên SC. Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF, gọi K là trung điểm của AM. Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB. Hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm H sao cho các mặt phẳng SAB và SAC cùng tạo với SH góc 30 và mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC là mặt phẳng SAB và SAC sẽ cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 tức H hoặc là tâm nội tiếp hoặc là tâm bàng tiếp các góc ABC của tam giác. Chiều cao chóp lớn nhất khi max.
Bài tập 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là. Thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất là. Gọi M là trung điểm của CD. Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x. Tam giác SMC vuông tại M. Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương. Bài tập 7. Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là S. Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật là. Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là abc. Đẳng thức xảy ra khi abc hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương. Bài tập 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ AA’ đến BC’CB’ và khoảng cách từ C đến ABC đều bằng x không đổi, góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 0. Để thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ nhỏ nhất thì góc có giá trị gần nhất giá trị nào sau. Để thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là nhỏ nhất thì 2 sin cos lớn nhất.