Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc. Phương pháp giải. Thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1: Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán. Bước 2. Giải phương trình f'(x) = k để tìm x là hoành độ của tiếp điểm. Tính y = f(x). Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k(x – 1). Điểm M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho. Cách 2: Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán. Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + b. Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với (C) ta tìm giá trị của b. Lưu ý: Phương trình f'(x) = k có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp điểm. Một số trường hợp xác định hệ số góc của đường thẳng thường gặp. Cho hai đường thẳng d. Đặc biệt: Nếu góc giữa d: y= kx + b với Ox bằng a(0° < a < 90°) thì k = tan a. Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OB = OA thì. Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x; y) và B(x, y,) thì k = 22.
Bài tập 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 song song với trục Ox là. Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình y = y, với y là giá trị cực trị của hàm số đã cho. Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A(1; -1), B(-1; 3). Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y = -1; y = 3. Bài tập 2: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp x – 1 tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA = 40B là. Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OA = 40B. Khi đó AOAB vuông tại O và t. Với x = 3 thì phương trình tiếp tuyến là. Với x = -1 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến là chắn hai trục tọa độ một.
Bài tập 3: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x tam giác vuông cân? Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy. Vì AOAB vuông cân tại O nên OA = OB. Với x = -1 thì y = 1. Phương trình tiếp tuyến là y = (x + 1) + 1 = x + 2. Với x=-3 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = (x + 3) + 3 = x + 6. Bài tập 4: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị (C) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 là. Ta có hệ số góc của d là. Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k. Gọi M(x; y) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) thì đã là nghiệm của phương trình y. Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm. Trường hợp 1: Nếu m = 0. Trường hợp 2: Nếu m + 0. Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x = 1 và x = m.
Bài tập 5: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ax + bx + 2 tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Giá trị tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2. Vì điểm A(-1; 1) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên x = -1 là nghiệm của phương trình. Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số. Bài tập 6: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng d: y = -x + 1 một góc a thỏa mãn cos a. Gọi K là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến y = -9x + 1 và y = -9x – 3. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y = 5. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến. Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.
Bài tập 7: Cho hàm số y có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x; y); N(x; y); (M, N khác A) thỏa mãn. Do tiếp tuyến đi qua hai điểm M(x; y); N(x, y) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k. Xét phương trình. Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn). Khi đó phương trình y' = 0x – 7x = 0. Do đó hai điểm cực tiểu là x = -7 và x = 7 nên hoành độ của tiếp điểm A (-47; 47). Vậy chỉ có x = -1; x = -2 thỏa mãn.