VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng:
Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng. 1. Phương pháp: 1. Mặt phẳng đi qua điểm M có vectơ pháp tuyến n = ABC. 2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M xyz có cặp vectơ chỉ phương a b. Khi đó một vectơ pháp tuyến của P là n = ab. 2. Bài tập: Bài tập 1: Cho mặt phẳng Qxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Q, đồng thời cắt các trục Ox Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho MN 2 2. Hướng dẫn giải: Chọn A.
P // Q nên phương trình mặt phẳng P có dạng xy z 2 0. Khi đó mặt phẳng P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại các điểm M D N D. Từ giả thiết: 2 MN D D D. Vậy phương trình mặt phẳng 2 2 0 Pxy z. Chú ý: Mặt phẳng đi qua điểm M xyz và song song với mặt phẳng Ax By Cz D 0 thì có phương trình là Ax x By y Cz z. Bài tập 2: Cho điểm (1;2;5). Mặt phẳng P đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz tại A B C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng P là?
Tương tự AB OM (2). Từ (1) và (2) suy ra OM ABC. Suy ra (1;2;5) OM là vectơ pháp tuyến của P. Vậy phương trình mặt phẳng P là: x y z xyz. Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh (8; 14; 10); A AD AB AC lần lượt song song với Ox Oy Oz. Phương trình mặt phẳng BCD đi qua H(7; 16; 15) là trực tâm BCD có phương trình là? Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo đề ra, ta có BCD đi qua H(7; 16; 15), nhận HA = (1;2;5) là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng BCD là?
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng 3 0 xyz và cách một khoảng bằng 3. Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi P là mặt phẳng cần tìm. Ta có (0;0;3). Do a // b nên phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng: xyzm 0 với m = 3. Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là xyz 6 0.
Bài tập 5: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P và Q. Mặt phẳng song song và cách đều P và Q có phương trình là? Hướng dẫn giải: Chọn A. Điểm M(x;y;z) bất kỳ cách đều P và Q dM P dM Q. Vậy M thuộc (Q). Nhận thấy P song song với P và Q. Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A B và mặt phẳng. Biết rằng khoảng cách từ A B đến mặt phẳng P lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức T abc bằng?
Gọi H K lần lượt là hình chiếu của A B trên mặt phẳng P. Theo giả thiết, ta có: AB AH BK 3 6 3. Do đó A B ở cùng phía với mặt phẳng P. Lại có: AB BK AK AH. Suy ra A B H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H(5;6;-1). Vậy mặt phẳng P đi qua (5;6;-1) và nhận (2;2;-1) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là x y z x yz.