VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) đi qua điểm M, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) đi qua điểm M:
Dạng 6: Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số C y = fx đi qua điểm M. 1. Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm M. Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường thẳng d: y = kx + a + b. Bước 3. Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình có nghiệm. Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu. Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc nhất trên bậc nhất thì hệ (*) có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến. Nếu f(x) là hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị thì nếu hệ (*) có nghiệm không phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu (cực đại) thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ thị (C). 2.
Bài tập: Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm M. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S bằng? Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k. Khi đó phương trình của d là y = kx + m. Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình phải có hai nghiệm phân biệt. Từ hệ trên, ta có: Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0. Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0. Vậy S = 0 nên tổng các phần tử bằng 20/3. Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm A. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A? Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có hàm số xác định trên D. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A. Phương trình đường thẳng: Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm. Thay (2) vào (1) ta được. Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. Xét hàm số: Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì a2. Mà a nguyên nên a = 1.