VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán cực trị mặt cầu, khối cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán cực trị mặt cầu, khối cầu:
Bài toán cực trị. Phương pháp giải. Tương tự như bài toán cực trị về hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình hoặc biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào một yếu tố sau đó đánh giá tìm ra đáp án. Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R = 5 cm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc SDC và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng. Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8 cm. Suy ra bán kính đường tròn. Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng 4 cm. Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi d lớn nhất và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng.
Bài tập 1. Cho hai mặt cầu S có cùng tâm I và bán kính lần lượt là 2 và 10. Các điểm A, B thay đổi thuộc S còn C, D thay đổi thuộc S2 sao cho có tứ diện ABCD. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của các mặt cầu S1 và R. Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. Thể tích khối tứ diện ABCD là.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C). Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là. Gọi M là trung điểm BC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a. Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng. Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và GH là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu.