VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia:
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Phương pháp giải: Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a (β) dễ thực hiện. Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. Lời giải Gọi M là trung điểm của AB. Tứ diện ABCD đều nên ∆ABD và ∆ABC là các tam giác đều suy ra DM AB AB (MCD) CM AB. Do đó AB CD. Chứng minh tương tự ta cũng có BC AD AC BD.
Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB AD CD 2. a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh CI AB và DI SC. b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. Lời giải a) Đặt AB = 2a ⇒ AD = CD = a. Do AB = 2CD ⇒ AI = AD = CD = CI = a. Khi đó AICD là hình vuông cạnh a. Do đó CI AB. Mặt khác AC DI DI (SAC) DI SC DI SA.
b) Do SA (ABCD) SAD SAB ⇒ ∆ vuông tại S. Mặt khác CD AD CD (SAD) CD SD CD SA nên ∆SDC vuông tại D. Xét ∆ACD có trung tuyến AB CI ACD 2 ⇒ ∆ vuông tại C ⇒ BC AC. Mặt khác BC SA BC (SAC) BC SC SCB ⇒ ∆ vuông tại C. Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và CC’ = a. a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI BC’ b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh BC’ AM c) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho a B’K 4 và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: AM MK và AM KJ.
Lời giải: a) Do ∆ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên AI BC. Mặt khác AI CC’ AI (BCC’B’) AI BC’ b) Dễ thấy BCC’B’ là hình vuông nên B’C BC’. Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B’BC nên MI//B’C suy ra MI BC’. Lại có: AI BC’ BC’ (AIM) BC’ AM c) Ta có: KB’ 1 AB tan KMB’ tan AMB 2 MB’ 2 BM. Suy ra tan KMB’ cot AMB KMB’ AMB 90. Do đó AMK 90 AM MK.
Mặt khác AM BC’ AM MJ MJ // BC’. Suy ra AM (MKJ) AM KJ. Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng MN BD. Lời giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD. Ta có: IN // AC BD IN AC BD (1). Mặt khác IM // BE IM PO BE PO (*). Mà PO BD (**) (Do ∆BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO). Từ (*) và (**) ta có: BD IM (2) Từ (1) và (2) ta có: BD (IMN) BD MN.