VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác định thiết diện liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Xác định thiết diện liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Thiết Diện. Phương pháp. Việc xác định thiết diện với một khối đa diện với một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, trước hết ta phải tìm được điểm chung của một mặt phẳng đã cho với một mặt của khối đa diện, sau đó dựa vào mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc để tìm ra phương của giao tuyến giữa mặt đã cho và các mặt của khối đa diện. Thường ta hay dùng hệ quả sau để tìm điểm chung. Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) đi qua S vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp đã cho. Gọi H là trung điểm AB = SH vuông góc AB. Suy ra: Ké HM vuông góc AB. Do đó thiết diện là tam giác AHM vuông tại H.
Câu 2: Ta có SH = ay, HM = BC = 2a. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm 0, SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đoạn A0 (M = 4). Mặt phẳng (a) đi qua M và vuông góc với A0. Đặt AM = x. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp S.ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO I(ABC) (0 là tâm của tam giác ABC). Tương tự ta cũng có BC // (a). Qua M kẻ IJ // BC với IF AB, kẻ MK // SO với Ke SA. Khi đó thiết diện là tam giác KIJ. Diện tích tam giác IJK là SALE = U.MK. Trong tam giác ABC. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp đã cho. Gọi I là trung điểm BC = AI vuông góc BC. Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Khi đó thiết diện là tam giác AMN.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) qua trung điểm E của SC và vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp đã cho. Gọi F là trung điểm AC. Gọi J, K lần lượt là trung điểm AB, AG Suy ra CJ vuông góc AB và FG // CJ nên FG vuông góc AB. Từ (1), (2) và (3), suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi (a) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp đã cho. Gọi I là trung điểm của AC. Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH. NIBH vuông tại I. Ta có BI đường cao của tam giác đều cạnh a nên BI = d. Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS.
Câu 6: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm hệ thức giữa a và b để (a) cắt SC tại điểm C, nằm giữa S và C. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SG S(ABC). Gọi C là trung điểm AB. Suy ra C, C’, G thẳng hàng. Trong tam giác SAC suy ra thiết diện cần tìm là tam giác ABC thỏa mãn đi qua A và vuông góc với AC. Tam giác SAC cân tại s nên để C nằm giữa s và c khi và chỉ khi ASC < 90°. Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 6. Gọi M là trung điểm AB. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng. Vậy thiết diện của (P) và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M .
Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm 0, đường cao AA', SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đoạn OA'(M = A'; M = 0). Mặt phẳng (a) đi qua M và vuông góc với AA'. Đặt AM = x. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (a) với hình chóp S.ABC. Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = a2, AA' = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) qua M là trung điểm của BC và vuông góc với AB'. Thiết diện tạo bởi (a) với hình lăng trụ ABC.A'B'C' là.