Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh: a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P). Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh BC (ADI) b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH (BCD).
Lời giải a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: AI BC DI BC (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao) Do đó BC (ADI). b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AH DI. Mặt khác BC (ADI) BC AH. Do đó AH (BCD). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA (ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD. a) Chứng minh rằng BC (SAB) CD (SAD). b) Chứng minh rằng AM (SBC); AN (SCD). c) Chứng minh rằng SC (AMN) và MN//BD d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
Lời giải a) Do SA (ABCD) SA BC. Mặt khác ABCD là hình vuông nên BC AB. Khi đó BC AB BC (SAB) BC SA. Tương tự chứng minh trên ta có: CD (SAD). b) Do BC (SAB) BC AM. Mặt khác AM SB AM (SBC). Tương tự ta có: AN (SCD) c) Do AM (SBC) AM SC SC (AMN) AN (SCD) AN SC. Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD. d) Do ABCD là hình vuông nên AC BD mặt khác SA BD BD (SAC). Do MN // BD MN (SAC) MN AK.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm của tam giác BCD. b) Chứng minh rằng AH AB AC AD 2 222 1 111 c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. Lời giải a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì AH (BCD). Ta có AD AB AD (ABC) AD BC AD AC. Mặt khác AH BC BC (ADH) BC DH. Tương tự chứng minh trên ta có: BH CD. Do đó H là trực tâm của tam giác BCD. b) Gọi E DH BC do BC (ADH) BC AE.
Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: AE AB AC 2 22 111. Lại có: AH AD AE AB AC AD 2 22 22 2 1 11111 (đpcm). c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: BC x y BD x z CD y z 2 2 2 2 2 2. Khi đó cosB = BC BD CD x 222 2 0 CBD 90 2 BC BD BC BD. Tương tự chứng minh trên ta cũng có BDC 90 BCD 90 tam giác BCD có 3 góc nhọn. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy. b) SC (BHK). c) HK (SBC).
Lời giải a) Giả sử AH BC tại M. Ta có: BC AM BC (SAM) BC SM BC SA. Mặt khác SK BC ⇒ S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M. b) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC. Mặt khác BH SA BH (SAC) BH SC. Lại có: BK SC SC (BHK) c) Do SC (BHK) SC HK ⇒ mặt khác BC (SAM) BC HK. Do đó HK (SBC). Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh rằng SO (ABCD) b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK (SBD) và IK SD.
Lời giải: a) Do SA = SC ⇒ ∆ SAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra SO AC. Tương tự ta có: SO BD SO (ABCD). b) Do ABCD là hình thoi nên AC BD. Mặt khác SO (ABCD) AC SO. Do vậy AC (SBD) IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên IK / /AC mà AC (SBD) IK (SBD). Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông. b) Chứng minh rằng SI (SCD); SJ (SAB). c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SH (ABCD). Lời giải a) Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên a SI 3 2. Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a ∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S CD a SJ 2 2. Do đó SJ SI IJ a SIJ 2 2 22 vuông tại S. b) Do ∆SCD cân tại S nên SJ CD. Do AB // CD SJ AB. Mặt khác SJ SI SJ (SAB). Chứng minh tương tự ta có: SI (SCD). c) Do SI (SCD) SI CD. Mặt khác CD IJ CD (SIJ) CD SH. Do SH IJ SH (ABCD).
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Biết SH (ABC) chứng minh MN (ABC). Lời giải Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI ⇒ M là trọng tâm tam giác ABC ⇒ M AH CI. Ta có: NA MA MN // SH NS MH. Mặt khác SH (ABC) MN (ABC).