Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh hai đường thẳng vuông góc

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc Phương pháp giải: Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: 2 AB AB AB để tính độ dài vectơ u ta sử dụng công thức 2 u u Để tính góc giữa 2 vectơ ta sử dụng công thức: cos a b a b a b. Để chứng minh 2 đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng minh: AB CD 0.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC a 2. Tính góc giữa hai vectơ AB và SC. Lời giải Do SB = SC = a; BC a 2 ⇒ ∆SBC vuông cân tại S. Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: AB SB SA. Ta có: AB SC SB SA SC SB SC SA SC cos 90 cos 60. Do đó 1 2 cos 2 a AB SC AB SC AB SC a a 0 AB SC 120. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng: AB CD AC DB AD BC 0. b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra nếu tứ diện ABCD có AB CD và AC DB thì AD BC.
Lời giải a) Lấy điểm A làm điểm gốc. Ta có: AB CD AC DB AD BC b) Do AB CD AC DB AD BC 0. Mặt khác: AB CD AB CD AD BC. Do đó AD BC. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = 600 góc BAD = 600 góc CAD = 900. Chứng minh rằng: a) AB CD. b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ AB. Lời giải a) Lấy điểm A là điểm gốc ta có AB CD AB AD AC 2 02 0 AB AD AB AC a a cos 60 cos 60 0 AB CD. b) Ta có: IJ IA AJ AB AC AD.
Do đó IJ AB AB AC AD AB 2 1 2 02 0 cos 60 cos 60 0 a a a IJ AB. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA. Chứng minh rằng SA BC SB AC và SC AB. Lời giải Giả sử ASB BSC CSA α và SA = SB = SC = a. Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: SA BC SA SC SB 2 2 SA SC SA SB a a cos cos 0. Tương tự chứng mình trên ta cũng có SB AC và SC AB.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng AB AC AB BD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau. Lời giải Ta có: rong không gian cho 2 vectơ a và b tạo với nhau một góc 0 120. Biết rằng a = 3 và b = 5. Tính a b và a b. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai vectơ AC và DA’. Lời giải Ta có: AC AB AD. Đặt AB a AC a DA. Mặt khác 2 2 AC DA AB AD AD AA AD a. Suy ra 2 0.