VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song:
Dạng 01. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp giải Ta có thể dùng một trong các cách sau 01 Xét mặt phẳng chứa a b. Dùng các định lý đường trung bình, Định lý Thales đảo để chứng minh a b. 02 Dùng định lý bắc cầu a c a b b c. 03 Dùng định lý 4 a b a b c a b a b a c c. Bài 01. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB SBC.
Chứng minh IJ AC. Gọi là mặt phẳng chứa IJ và cắt SC SA lần lượt tại E F. Chứng minh rằng IJEF là hình thang. Gọi M N lần lượt là trung điểm SC SD. Gọi K AN BM. Chứng minh SK AD BC. Tứ giác SADK là hình gì? Lời giải Chứng minh IJ AC. Gọi P Q lần lượt là trung điểm AB BC. Trong SPQ có 2 3 SI SJ SP SQ nên IJ PQ.
Mà trong BAC có PQ là đường trung bình nên PQ AC. Do đó IJ AC PQ. Chứng minh rằng IJEF là hình thang. Ta có: S SPQ SAC PQ SPQ SPQ SAC d AC SAC PQ AC với d PQ AC Xét SPQ SAC có: SPQ IJ SAC EF IJ EF d SAC SPQ d d IJ. Do đó IJEF là hình thang. Chứng minh SK AD BC. Tứ giác SADK là hình gì? Ta có S SBC SAD và AN SAD BM SBC K SAD SBC K AN BM.
Do đó SK SBC SAD. Mặt khác AD SAD BC SBC SK AD BC AD BC SK SAD SBC. Tứ giác SADK có SK AD và hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành. Bài 02. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi EF lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng EF CD. Tìm giao điểm I của SC và ADF. Gọi J là giao điểm của AF và DI. Chứng minh rằng SI AB CD.
Lời giải: Chứng minh rằng EF CD. Xét SAB có EF lần lượt là trung điểm của SA SB (gt) Nên EF là đường trung bình của tam giác Do đó EF AB mà lại có AB CD (gt) Suy ra EF CD. Tìm giao điểm I của SC và ADF. Trong ABCD gọi O AC BD. Khi đó có SO FD SBD. Trong SBD gọi K SO FD. Khi đó có AK SC SAC gọi I SC AK. Khi đó có I SC ADF.
Chứng minh rằng SI AB CD. Có J là giao điểm của AF và DI (gt) suy ra J DI DI SCD J SAB SCD J AF AF SAB (1). Lại có S SAB SCD (2). Từ (1) và (2) suy ra SAB SCD SJ. Lại có AB CD AB SAB CD SCD Suy ra SI AB CD (theo hệ quả). Bài 03. Cho tứ diện ABCD. Gọi M N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Lấy P trên AB. Gọi các điểm I PD AN J PC AM. Chứng minh rằng IJ CD. Lời giải: Có M N lần lượt là trung điểm của BC và BD (gt).
Nên MN là đường trung bình của BCD MN CD (1). Xét AMN BCD PCD có AMN BCD MN AMN PCD IJ PCD BCD CD (2). Từ (1) và (2) suy ra MN CD IJ (Theo định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng). Hay IJ CD (đpcm). Bài 03. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không đồng phẳng. Trên các đường chéo AC BF lấy M N sao cho 1 3 AM BN AC BF. Chứng minh rằng MN DE. Lời giải Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi M DI AC. Ta có 1 1 2 3 AM AI AM M C DC AC. Lại có 1 3 AM AC suy ra M M. Hay D M I thẳng hàng và 1 3 IM ID. Tương tự, ta có I N E thẳng hàng và 1 3 IN IE Xét tam giác IDE có IM IN MN DE ID IE (Định lý Ta-let đảo) (đpcm).