VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song:
Chứng minh minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng và mặt phẳng song song với mặt phẳng, hoặc các vấn đề liên quan đến song song như: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành, hình thang, tính chất của hình. Chú ý: Khi chứng minh các yếu tố song song ta có thể sử dụng tính chất hoặc định của phép chiếu Song song. Đôi khi sẽ thuận lợi hoặc gặp khó khăn nhiều hơn song với cách chứng minh trực tiếp.
BÀI TẬP DẠNG 2: Ví dụ 1. Cho tứ diện diện ABCD. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, MN và L là một điểm nằm trên đoạn BD sao cho BL = BD. Chứng minh KL || AB. Gọi Q là trung điểm BD. Qua phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng BCD biến: A thành B. M thành Q. Vì BL = BD = BQ suy ra L là trung điểm BQ. Do đó phép chiếu song song theo phương AB lên (BCD) biến K thành L. Vậy KL || AB.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C. Gọi M, N, M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC, A’C’, B’C’. a) Chứng minh rằng: (MNN’M’) || (AA’B’B). b) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: GG’ || (MNN’M’). c) Gọi I, I lần lượt là trung điểm của AN’ và AC. Chứng minh rằng: II | GG”.
a) Qua phép chiếu song song theo phương AA’ lên mặt phẳng (ABC) biến: M’ thành M. N’ thành M. A’ thành A. B’ thành B. Do đó (MNNM) || (ABB’A’). b) Qua phép chiếu song song theo phương AA’ lên mặt phẳng (ABC) biến: A’ thành A, B’ thành B, C thành C’. Suy ra tam giác ABC là ảnh của A’B’C. Do đó G’ biến thành G. Mặt khác M’ biến thành M. Vậy GG’ || (MNN’M’). c) Qua phép chiếu Song Song theo phương AA’ lên mặt phẳng ABC biến: N’ thành N. A thành A. Suy ra 1 là ảnh của I. Mặt khác theo câu b thì G là ảnh của G’ qua phép chiếu Song song theo phương AA’. Vậy II’ || GG’.
Ví dụ 3. Cho hai điểm A và B ở ngoài mặt phẳng (P). Gọi A và B lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (P) theo phương của đường thẳng d cho trước. Chứng minh nếu AB song Song với (P) thì A’B’ = AB. Phần ngược lại có đúng không?
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN || BC. Giả sử đã tìm được M DB’ và Ne AC sao cho MN | BC. Xét phép chiếu song song theo phương BC lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B”. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, BẰcũng thẳng hàng. Do đó N là giao điểm của DB và AC .