VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy:
Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy. Phương pháp. Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3. Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q); A là điểm không nằm trên cả hai mặt phẳng này; C và D là hai điểm nằm trên (P). Gọi E là giao điểm của a với CD; F và G lần lượt là giao điểm của AC, AD với (O). Chứng minh rằng ba điểm E, F và G thẳng hàng. Ta thấy D và C thuộc mp(P), A không thuộc mp(P) nên A, C và D không thẳng hàng. Do đó, tồn tại mặt phẳng (ACD). Như vậy, F, G, E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (Q) nên chúng thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh chúng đồng quy. Theo giả thiết a và b cắt nhau, giả sử tại O. Ta chứng minh O thuộc c. Do a và c cắt nhau nên tồn tại mp(a,c). Do b và c cắt nhau nên tồn tại mp(b,c). Vậy ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại O. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B, C, D. Giả sử AD cắt BC tại E, AD cắt BC tại E. Chứng minh: a. S, E, EO thẳng hàng. b. A’C, B’D, So đồng quy. ta có ba điểm S, E, E cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). Do đó ba điểm đó thẳng hàng. Vậy ba đường thẳng SO, AC, BD đồng quy.
Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB, sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA. a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC. b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy. Trong mp(SBC): IJOBC = {D} (do IJ không song song với BC). Mà IJc(IJK) nên D = (IJK) BC. b. Ta có IK không song song với SA nên trong mp(ABC): IK, SA = {F}. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K là một điểm trên cạnh SD. a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD. b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC. c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. Trong mp(ABCD) mà ABC(ABK) nên Ee(ABK) CD. b. Ta có: (ABK) = (AEK). Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. 3. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (d) qua MN cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
Câu 2: Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB, BC, SC lần lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? Ta có M & SB suy M là điểm chung của (LMN) và (SBC). Là điểm chung của (LMN) và (SBC). J là điểm chung của (LMN) và (SBC). Vậy M, I, J thẳng hàng và cùng thuộc giao tuyến của (LMN) và (SBC). Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai? Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB). M là điểm chung thứ hai giữa hai ECD C(ACD) →ME(ACD) mặt phẳng (ACD) và (GAB). Điểm 1 di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
Câu 4: Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d, d1, d2 đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d là điểm chung của hai mặt phẳng (a) và (3); đồng thời d là giao tuyến (a) và (3). Câu 5: Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh BC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một song song. B. Ba đường thẳng AB, CD, MN đôi một cắt nhau. C. Ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy. D. Ba đường thẳng AB, CD, MN cùng thuộc một mặt phẳng.