VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song:
Chứng minh hai đường thẳng song song. Phương pháp. Cách 1. (Dùng định nghĩa) chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung. Cách 2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng. Cách 3. Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh ba đoạn nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD, AD, BC, AC, BD. Ta cần chứng minh các đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của chúng. Ta có: MP là đường trung bình của AABD nên MP || BD và MP= BD (1), NQ là đường trung bình của ABCD nên NQ // BD và NQ = BD (2). Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành.
Gọi G là giao điểm của hai đường chéo MN và PQ. Khi đó ta có G là trung điểm của MN và PQ. Tương tự ta chứng minh được tứ giác PSQR là hình bình hành. Suy ra trung điểm G của đường chéo PQ cũng là trung điểm của đường chéo RS. Vậy ba đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đường. Chú ý: Điểm G nói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD, E là một điểm trên cạnh AD nhưng không trùng với A và D. a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJE). b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình bình hành. ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình thoi.
Giải a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp (IJE): Ta có IJ là đường trung bình của ABCD nên: IJ // CD. Như vậy, mp(IJE) cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau IJ, JE, EF và FI, nên thiết diện cần tìm là tứ giác IJEF có EF // IJ (theo (2)) nên thiết diện này là hình thang. b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành: IJEF là hình bình hành khi và chỉ khi JE // IF // AB, tức là E là trung điểm của AD. c. Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD để thiết diện là hình thoi: IJEF là hình thoi khi và chỉ khi IJEF là hình bình hành và IJ = JE, tức là E là trung điểm của AD và AB = CD.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, AD, SD, SC sao cho EH // SB, EF // AB, GH // CD. a. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng. b. Chứng minh GF // SA. C. Gọi I là giao điểm của EH và FG. Chứng minh rằng khi E di động trên BC thì I chạy trên một đường thẳng cố định. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng. Ta có: EF // AB từ (1) và (2) suy ra: EF // GH (3) chứng tỏ tồn tại duy nhất mặt phẳng qua hai D đường thẳng song song EF và GH. Vậy bốn điểm E, F, G, H đồng phẳng (cùng thuộc mp(EF,GH)). b. Chứng minh GF // SA: ASCD có CH // CD. Chứng minh I chạy trên đường thẳng cố định. Điều này chứng tỏ I chạy trên giao tuyến cố định Sx của hai mặt phẳng cố định (SBC) và (SAD) khi E chạy trên BC.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Giả sử MN cắt áp dụng định lí 3 (định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng) cho ba mặt phẳng (ABC), (ACD) ta có ba giao tuyến MN, AJ và EF đồng quy tại J. Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của cạnh BC. a. Chứng minh MN // BD. b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE). c. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // BD Chứng minh MN // BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AD. PQ là đường trung bình của AABD nên: PQ // BD. Từ (1) và (2) suy ra: MN // BD. b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE). Theo hệ quả của định lí lần lượt theo các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau KE, EH, HR, RL, LK. Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác KEHRL.