Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui:
Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng phải cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt, tức là thẳng hàng. Chứng minh ba đường đồng qui: Giả sử cần chứng minh AB, CD, MN đồng qui. Ta tìm K là giao của AB và CD, sau đó chứng minh K, M, N thẳng hàng.
BÀI TẬP DẠNG 4: Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (a) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng (a). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (a) tại D, E, F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (a), cho tam giác BCD, A là một điểm không thuộc (a). Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. Trong (BCD) đặt CD0IG = K, suy ra F, K, H thẳng hàng. Vậy FH, CD, IG đồng qui tại K.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L. Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N. a) Gọi E = BN0DM; F = BL0DK và J = LM0KN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, E thẳng hàng và ba điểm C, J, F cũng thẳng hàng. b) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H, chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng (a), cho tứ giác ABCD, S là một điểm không thuộc (a). Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng qua IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng qui (với O là giao điểm của AC và BD). Từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S, F, E thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi (a) di động.