VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tương giao của hai đồ thị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán tương giao của hai đồ thị:
Dạng 3: Tương giao của hai đồ thị 1. Phương pháp Xét hai đồ thị C y f x và D y g x. Phương trình hoành độ giao điểm giữa C và D là: f x g x. Số điểm chung giữa C và D đúng bằng số nghiệm của phương trình 1. 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị của hàm số 3 1 x y tại hai điềm phân biệt.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 1 4 0 mx mx. Yêu cầu bài toán: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 m. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y x x 3 2 có đồ thị C và đường thẳng d qua M (1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt C tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 x x x thỏa mãn 2 2 2 1 2 3 x x x 5.
Lời giải: Phương trình đường thẳng d qua M (1;0) và có hệ số góc m là y m x. Phương trình hoành độ giao điểm. Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điềm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Gọi 1 2 3 x x x 1 là 3 nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Viet ta có 1 2 x m. Ta có: Vậy m 2. 3. Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Biết rằng đường thẳng y x 2 2 cắt đồ thị hàm số 3 y x x 2 tại điểm duy nhất có tọa độ x y 0 0. Tìm 0 y. Lời giải: Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm. Câu 2: Cho hàm số y x x 2 1 có đồ thị C. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. C không cắt trục hoành. B. C cắt trục hoành tại một điểm. C. C cắt trục hoành tại hai điểm. D. C cắt trục hoành tại ba điểm.
Lời giải: Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục hoành 2 x x. Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số 3 2 y x x x 3 2 1 cắt đồ thị hàm số 2 y x x 3 1 tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB. Lời giải: Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm. Suy ra A B AB 1.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 y x x mx m 1 cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt. Lời giải: Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm. YCBT: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 y x x 3 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt. Lời giải: Chọn A Xét hàm bậc ba 3 2 y x x 3 có 2 CD CT. Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có ycbt CT CD y m y m 4 0.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2 x x m 3 3 1 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. Lời giải: Chọn B Phương trình 3 2 x x m 3 1 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 y x x 3 ta được x -4 -2 y O 1 2 3 y m 1 3. Dựa vào đồ thị, ta có ycbt 5 4 3 m m. Chú ý: Sai lầm hay gặp là cho 4 1 3 0 m.
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2 2 3 2 1 x x m có đúng hai nghiệm phân biệt: Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi CD CT 1 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 1 1.