VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:
DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài toán 1: Giải phương trình hx gx. Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số f t luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình f t 0 có tối đa một nghiệm và với mọi uv D thì fu fv u v. Bài toán 2: Giải bất phương trình hx gx. Biến đổi bất phương trình về dạng fu fv và sử dụng kết quả: Hàm số f t đồng biến trên D thì uv D ta có fu fv u v. Hàm số f t nghịch biến trên D thì uv D ta có fu fv u v.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3 2 2 3 6 11 5 2 3 xx. b) 2 2 1 23 73 0 x x. Lời giải a) Điều kiện 3 2 2 3 6 11 0 5 xx D x. Xét hàm số 3 2 fx x D 2 3 6 11 5. Ta có: 2 3 2 2 3 6 11 2 5 x x f x D nên hàm số đồng biến trên D. Phương trình đã cho trở thành fx f x 23 2 2. Thử lại thu được nghiệm duy nhất x = 2. b) Điều kiện x ≤ 3. Phương trình đã cho tương đương với 3 3 2 7 x x. Xét hàm số 3 2 ft t t 6 1 0 vậy hàm số liên tục và đồng biến.
Khi đó 2 0 3 13 1 1 33. Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất 13 1 2 x. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) 6 8 6 3 2 x x. b) 3 3 5 1 21 4 x x. Lời giải a) Điều kiện x 2. Xét hàm số 6 8 6 2 3 2 f x x ta có: 33 42 0 3 62 8 x x f x. Suy ra hàm số f x liên tục và đồng biến trên miền (−∞;2). Mặt khác 3 0 2 f nên phương trình f x 0 có duy nhất nghiệm 3 2 x. Kết luận 3 2 S. b) Điều kiện 3 5 1 x. Xét hàm số 3 3 1 5 1 2 1 5 f x. Ta có 2 3 3 2 15 2 1 0 x x nên hàm số đồng biến trên 3 1 5.
Bài toán trở thành fx f x 1 1. Kết luận tập nghiệm S = {1}. Ví dụ 3: Giải phương trình a) 3 2 3 3 2 xx 6 12 7 9 19 11. b) 3 2 xx 3 4 2 3 23 1. Lời giải a) Điều kiện x. Phương trình đã cho tương đương với 3 2 3 2 3 3 2 19 11 2 9 19 11. Xét hàm số 3 ft t 2 ta có 2 ft t 3 2 0. Do vậy hàm số f t liên tục và đồng biến trên R. Khi đó x x 9 19 11 1 9 19 11 ⇒ x {1;2;3}. Kết luận tập hợp nghiệm S = {1;2;3}. b) Điều kiện 1 3 x. Phương trình đã cho tương đương với 3 3 2 x. Xét hàm số 3 2 ft t 3 1 0 R R hàm số liên tục và đồng biến trên R.
Thu được 13 1 x fx. Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm x x 0 1. Ví dụ 4: Giải phương trình 2 3 4 2 2 32 2 12 x x trên tập số thực. Lời giải Điều kiện 2 10 1 3 0 2 x x ta có phương trình đã cho 1 4 12 2 4 22 2 12 32. Giải phương trình (*), chúng ta có 12 32 x x 3 2 1 22 1 2 1. Xét hàm số 3 2 ft t t t 2 với điều kiện t ≥ 0 vì 3 0 2 10 có 2 ft t 3 4 1 0 0 do đó f t là hàm số đồng biến và liên tục trên [0;+∞) nên suy ra fx f x x. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x x 1 2.
Ví dụ 5: Giải phương trình 2 2 6 8 3 1 x x R Lời giải Điều kiện x ≥ −3. Phương trình đã cho tương đương với 24 2 4 x x. Đặt x ux v 3 1 ta thu được 2 32 32. Xét hàm số 3 2 2 ft t t R R. Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên 2 2 1 1 3 17 3 1 fu fv u v. Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất 3 17 2 x. Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 4 1 3 52 0 x xy y R. Lời giải: Điều kiện 3 5 4 2 x y. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương 2 4 12 5 2 1 5 2 1 xx y y. Khi đó phương trình (1) có dạng: fx f y 2 5 với 2 3 f t R. Ta có: 2 f t t t ft 3 1 0 R đồng biến trên R.