Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số:
Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số Phương pháp giải: Xét tam thức bậc 2: 2 y ax bx c a 0 ta đã biết ở lớp 10 2 0 0 0 Δ 0 y x ax bx c x. Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số 2 y ax bx c a 0 đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Ta có: – Hàm số đồng biến trên R 2 3 0 0 3 2 0 R R y a y x ax bx c x ∆. – Hàm số đồng biến trên R 2 3 0 R R y a y x ax bx c x ∆. Chú ý: Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: 3 2 y m x mx x 1 23 ta cần xét a = 0 trước. Số giá trị nguyên trên đoạn [a; b] bằng b a 1.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2 y x mx mx 3 6 2 đồng biến trên R. Lời giải Ta có: 2 y x mx m 66 6. Hàm số đồng biến trên R 2 6 0 0 0 4 Δ 9 36 0 R a y x m m m. Kết hợp m ∈ R ⇒ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số 3 2 y x mx m x 49 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+∞)? Lời giải Ta có: 2 y x mx m 3 2 49. Hàm số nghịch biến trên khoảng.
Kết hợp m ∈ R ⇒ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Ví dụ 3: Cho hàm số 1 3 2 2 32 3 yx xm x. Số giá trị nguyên của tham số m [-20;20] để hàm số đã cho đồng biến trên R là: A. 20. B. 19. C. 21. D. 23. Lời giải Ta có: 2 y x xm 4 3. Hàm số đồng biến trên R ⇒ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A. Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số 3 2 y x m x mx 2 6 3 24 2 nghịch biến trên R là: A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9. Lời giải Ta có: 2 2 6 12 3 24 6 2 3 4 y x mxm x m m. Hàm số nghịch biến trên R 2 mm m 10 9 0 9 1. Kết hợp m ⇒ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.
Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 3 2 2 2 62 3 y x mx m x nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S. Lời giải Ta có: 2 y x mx m 4 2 12. Hàm số nghịch biến trên R 2 1 0 3 0 2 R a y x m m m. Kết hợp m m ∈ ⇒ {1;0;1;2} ⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D. Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2 yx m x x 3 2 12 1 đồng biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 5. B. 10. C. 15. D. 6. Lời giải Ta có: 2 yx m x 3 6 2 12.
Hàm số đồng biến trên R R y a y x m m. Kết hợp m m {0;1;2;3;4} ⇒ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B. Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2 4 3 3 x y mx x luôn tăng trên R. Số phần tử của tập hợp S là: Lời giải Ta có: 2 y x mx 2 4. Hàm số đồng biến trên R 2 1 0 0 2 2 R y a y x m m. Kết hợp m m {2;1;0;1;2} ⇒ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D. Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f xm đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn).
Phương pháp giải: Xét hàm số f xm ta tính y f xm. Hàm số đồng biến trên D ⇔ y xD. Hàm số nghịch biến trên D ⇔ y xD 0. Cô lập tham số m và đưa bất phương trình y′ ≥ 0 hoặc y′ ≤ 0 về dạng m fx hoặc m fx. Sử dụng tính chất: Bất phương trình: D m f x x D m Max f x. Bất phương trình: D m f x x D m Min f x. Chú ý: Với hàm số 3 2 y ax bx cx d a 0 liên tục trên R nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) thì nó đồng biến trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số. Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm 1 2 n aa a thì ta có. Dấu bằng xảy ra 1 2 n aa a.
Với hàm số lượng giác F x a sinx b cos x c thì 2 2 2 2 MaxF x a b c MinF x a b c. Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 y x x mx 3 1 đồng biến trên khoảng (0;+∞). Lời giải Ta có: 2 y x xm 3 6. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) +∞ y x xm x 3 6 0 0 m x x gx x m gx. Mặt khác gx x x 6 60 1. Ta có: Do đó m ≥ 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y x x mx 33 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Lời giải Ta có: 2 y x xm 3 63. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ y x 0 0 m x x gx x m gx 2 0 min +∞. Xét gx x x +∞ 2 ta có: gx x 2 20 1 lim 0 lim 1 1 x x gx nên 0 min 1 g x +∞. Do đó m ≤ −1 là giá trị cần tìm.