Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp:
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp Phương pháp giải: Công thức đạo hàm của hàm hợp fu f uu. Lập bảng xét dấu y′ của hàm số đã cho và kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 fx x 121 1 trên R. a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số gx f x 1 2. b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số hx f x 3. Lời giải a) Ta có: 2 gx f x 1 2. Bảng xét dấu cho g x. Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng 1 1 4. b) Ta có: 2 hx fx f x 3 1 2 3 hx x 225 40. Bảng xét dấu cho h x x −∞ −4 5 2 − −2 +∞ h x + 0 − 0 + 0 +. Vậy hàm số h x nghịch biến trên khoảng 5 4 2.
Ví dụ 2: Cho hàm số y fx có đạo hàm trên R và fx x x. a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số 2 gx f x 2. b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số 2 3 1 51 2 x hx f x. Lời giải a) Ta có: g x xf x. Bảng xét dấu cho g x x −∞ −2 −1 1 2 +∞ g x + 0 − 0 + 0 − 0 +. Vậy hàm số g x đồng biến trên các khoảng (−∞;2); (1;1) và (2;+∞). Vậy hàm số g x nghịch biến trên các khoảng (-2;1) và (1;2). b) Ta có: hx f x 2 3 5 4 3 1. Bảng xét dấu cho h x x −∞ 1 3 +∞ h x − 0 + 0 −. Vậy hàm số h x đồng biến trên khoảng (1;3) và nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (3;+∞).
Ví dụ 3: Cho hàm số y fx có đạo hàm trên R và 2 fx x. a) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số gx f x x 2 1 12. b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 16 16 2 x hx f x. Lời giải a) Ta có: 2 gx f x 2 24 2 6 42 3 1 x x. Bảng xét dấu cho g x x −∞ 3 2 − 1 +∞ h x + 0 − 0 +. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 3 2 −∞ và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng 3 1 2. b) Ta có: 2 4 2 2 32 2 2 3 h x xf x 16 16 2 1. Bảng xét dấu cho h x x −∞ −2 −1 1 +∞ g x − 0 + 0 − 0 +. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2;1) và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và (−1;1) .
Ví dụ 4: Cho hàm số y fx có đạo hàm fx x 2 2 5 R. Tìm khoảng đồng biến của hàm số 2 4 1 2 2 2 y fx x. A. (−1;1) . B. (0;2). C. (1;+∞). D. (−3;0). Lời giải Ta có: 2 4 1 2 3 22 2 y f x x y. Bảng xét dấu cho y′ x −∞ −1 0 1 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +. Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞). Chọn C. Ví dụ 5: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 3 fx 121 trên R và hàm số gx f x 2. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Lời giải Ta có: 3 2 gx fx x 3 2. Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng 3 2 2. Chọn B. Ví dụ 6: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 2 fx x 2 trên R và hàm số 2 gx f x 1. Hàm số g x đồng biến trên khoảng nào sau đây? Lời giải Ta có: 2 2 f x x. Khi đó 2 22 gx fx. Suy ra hàm số g x đồng biến trên khoảng (−1;0) . Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số y fx liên tục và xác định trên R biết rằng 2 fx hàm số 2 y fx −1 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Lời giải Ta có công thức đạo hàm của hàm hợp fu f uu x. Do đó 2 2 2 3 fx f x. Vẽ bảng xét dấu ta có: 2 1 1 0 1 0 x f x x. Do đó hàm số 2 y fx 1 đồng biến trên khoảng (−1;0) và (1;+∞). Chọn A. Ví dụ 8: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 f x x 1 2. Hỏi hàm số 2 5 4 x y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Lời giải Ta có: 5 42 4 x x. Xét hàm số: 5 2 8 0 2 x x. Vậy hàm số 2 5 4 x y f x đồng biến trên khoảng (2;+∞) nên nó đồng biến trên khoảng (2;4). Chọn C.
Ví dụ 9: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 fx x 2 R. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số 2 2 y fx x 18 2 Lời giải Ta có: 2 2 y f x. Bảng xét dấu cho y′ x −∞ −2 0 2 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +. Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Chọn A. Ví dụ 10: Cho hàm số y fx có đạo hàm 2 2 fx x 1 4. Hàm số y f x 2 đồng biến trên khoảng nào? Lời giải Ta có: 2 22 fx. Khi đó: 2 2 y f x y 40. Vậy hàm số y f x 2 đồng biến trên khoảng (0;1). Chọn B.