Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị:
Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị. Phương pháp giải: Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm f x với mọi x như hình vẽ dưới đây. Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y fx ta dựa đồ thị f x như hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến. Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp y fu ta làm như sau: Ta thấy f x đổi dấu qua các điểm x bx cx d và f x bằng không nhưng không đổi dấu tại các điểm x ax e nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm: 2 2 f x kx a x b x c x d x e.
Trong đó hệ số k 0 nếu lim 0 +∞ x f x và k 0 nếu lim 0 +∞ x f x. Trong hình vẽ trên ta thấy k 0 (vì khi x +∞ thì f x 0 nên ta có thể giả sử: 2 2 f x xa xbxcxd xe từ đó suy ra đạo hàm của hàm hợp fu uf u. Từ đó lập bảng xét dấu và kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số y fx. Hàm số y fx có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0;2). B. (1;3). C. (−1;1). D. (−∞;2). Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta thấy 1 3 x thì đồ thị hàm số y = f'(x) nằm ở dưới trục hoành nên f'(x) ⇒ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1;3). Chọn B.
Ví dụ 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2018] Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số yf x 2 đồng biến trên khoảngnào sau đây? A. (1;3). B. (2;+∞). C. (−2;1). D. (−∞;-2). Lời giải Cách 1: Giả sử fx x 114 ta có: fx f x 2 2. Bảng xét dấu f x x −∞ −2 1 3 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 +. Vậy hàm số đồng biến trên (−2;1) và (3;+∞). Cách 2: Ta có: 2 2 fx f x. Dựa vào đồ thị ta có: 21 3 2 0 12 4 2 1 x x f x. Vậy hàm số đồng biến trên (−2;1). Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu như sau: x −∞ −2 0 2 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 −. Hàm số 2 y f(x) 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2;0). B. (2;+∞). C. (0;2). D. (−∞;-2). Lời giải Dựa vào bảng xét dấu ta có thể giả sử f x x 2 2. Chú ý: Do lim 0 x f x +∞ nên ta chọn k = −1. Khi đó 2 2 y f x y. Vậy hàm số 2 y f(x) 2 nghịch biến trên khoảng (2;+∞). Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: x −∞ −1 3 +∞ y′ + 0 − 0 +. Hàm số yf x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞;0). B. (4;6). C. (−1;5). D. (0;4).
Lời giải Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử fx x. Khi đó y f x y 13 3 4 0. Do đó hàm số yf x đồng biến trên khoảng (0;4). Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số 2 yf x −3 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0;1). B. (−1;0). C. (2;3). D. (-2;-1). Lời giải Giả sử fx x 612 ta có: 2 2 y f x y. Bảng xét dấu cho y′: x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0). Chọn B. Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số gx f x 1 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−1;0). B. (−∞;0). C. (0;1). D. (1;+∞).
Lời giải Giả sử 2 fx x 112 4 Suy ra 2 gx f x 1 210 1 1 hàm số gx f x đồng biến trên khoảng (1;+∞). Chọn D. Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số gx f x 3 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? Lời giải Giả sử fx x 225. Ta có gx f x hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;-1). Chọn C. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f'(x) liên tục trên R có đồ thị như hình bên. Hàm số 2 y fx x 2 3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞;0). B. (2;+∞). C. (1;2). D. (−∞;2). Lời giải Giả sử 2 fx x 2 3. Do đó hàm số 2 y fx x 2 3 nghịch biến trên khoảng (2;+∞). Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f'(x) liên tục trên R có đồ thị như hình bên. Hàm số 2 gx f x x 2 42 đồng biến trên khoảng nào sau đây? Lời giải Ta có: gx f x x 2 2 40 2.Vẽ đồ thị hàm số y = f'(x) và y x 2 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta thấy với x 2 hoặc 1 1 x thì đồ thị hàm số y = f'(x) nằm trên đường thẳng y x 2. Vậy nên 2 2 1 1 x fx x. Do đó hàm số g x đồng biến trên các khoảng (−1;1) (2;+∞).Chọn B. Ví dụ 10: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2019] Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x −∞ 1 2 3 4 +∞ f'(x) − 0 + 0 + 0 − 0 +. Hàm số 3 y fx x 32 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Lời giải Ta có: 2 2 y fx x y. Đặt t x 2 khi đó 2 2 ft t 2 1 43. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy t ft. Do đó yx x 0 1 22 1 0. Vậy hàm số đồng biến trên (−1;0). Chọn C.