Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số:
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số. Xét hàm số ax b y cx d. TXĐ: d D c. Ta có ax b ad bc y y cx d cx d. Nếu ad bc thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ad bc 0. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ad bc 0. Hàm số đồng biến trên miền 0 0 ad bc D ij y x ij d i j c. Hàm số nghịch biến trên miền ad bc D ij y x ij d i j c.
Ví dụ 1: Cho hàm số 1 2 x y x m a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 10). Lời giải a) TXĐ: D = R \ 2. Ta có: 2 2 1 2 m y x m. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi y xD m 0 2 1 0 1 2 1 2 m m. b) Hàm số đồng biến trên khoảng 1 1 10 2 5 2 2 10 m m m. Ví dụ 2: Cho hàm số x m 2 y x m a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (5;+∞). Lời giải a) TXĐ: D m R. Ta có: 2 2 mm m 222 y xm xm.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi 2 20 2 2 1 m mm b) Hàm số đồng biến trên khoảng 1 5 1 55 m m m. Ví dụ 3: Cho hàm số mx m4 y x m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3. Lời giải Ta có: 2 m m4 y x m. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định y xm 0 mm m. Chọn D. Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx 16 y x m đồng biến trên các khoảng xác định là A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.
Lời giải TXĐ: D m R. Ta có: 2 2m 16 y x m. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định y xD m x D m 0 16 0 4 4. Kết hợp m m 3 2 1 0 1 2 3 có 7 giá trị của tham số m. Chọn B. Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 2 mx y x m đồng biến trên các khoảng xác định là A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải TXĐ m y x m. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định y xD m 0 8 0 2 2 m. Kết hợp m m 2 1 0 1 2 có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số m x 1 20 y x m. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là: A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Lời giải TXĐ: D m R. Ta có: m m 1 20 y x m. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 2 y xD m m 0 20 0 5 4 m. Kết hợp m m 4 2 1 0 1 2 3 có 8 giá trị của tham số m. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số mx m5 4 y x m. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 10 10] để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 16. B. −10. C. −15. D. 15.
Lời giải TXĐ: D m R. Ta có: 2 2 m m5 4 y x m. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 2 4 0 5 4 0 1 m y xD m m m. Kết hợp m m 10 9… 0 5 6 7 8 9 10. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 10. Chọn B. Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số m 10 10 để hàm số 1 2 mx y mx nghịch biến trên từng khoảng xác định là? Lời giải Với 1 0 2 m y không thỏa mãn yêu cầu. Với m ≠ 0. TXĐ: 2 D m R. Ta có: 2 3 2 m y mx. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định y xD m m 0 3 0 0. Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 2 x m y mx đồng biến trên từng khoảng xác định. A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. Lời giải Với 1 0 2 x m y (thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định). Với m ≠ 0 khi đó TXĐ: 2 D m R. Ta có: 2 2 1 2 m m y mx. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định 2 y xD m m 0 2 0 2 1 m. Kết hợp m m 1 0. Chọn A. Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 5 x y x m đồng biến trên khoảng (−∞; 10) ? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 3. Lời giải Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 10).