Tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định:
Tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định. 1. Phương pháp: Cho hàm số y f x liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình f x vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó Hàm số f x đồng biến trên K f x x K. Hàm số f x nghịch biến trên K f x x K 0. Kiến thức bổ trợ Cho tam thức bậc hai 2 h x ax bx c a. Khi đó. Lưu ý: khi đã chắc chắn a 0 hai công thức trên đây mới được sử dụng.
2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 y x x m x m 3 3 2 3 1 đồng biến trên Lời giải. Hàm số 3 2 y x x m x m có tập xác định. Hàm số đồng biến trên 2 y x x m x 3 6 3. Vậy với m 1 thì hàm số đồng biến trên. Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2 y m x m x m x đồng biến trên. Lời giải: Hàm số 1 3 2 y m x m x m x có tập xác định. Xét a m m 3 0 3. Khi đó hàm số trở thành 2 y x x 6 5 3. Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên. Do đó ta loại m 3. Xét a m m 3 0 3. Hàm số luôn tăng trên 2 y m x m x m. Vậy với 3 1 2 m thì hàm số đồng biến trên.
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 7 5 3 mx m y x m đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định. Lời giải: Tập xác định: 3 5 m. Ta có: m m y x m. Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi 3 2 0 2 35 0 y x m m m. Vậy với m (7;5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó. 3. Bài tập Câu 1: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 y x x mx m 3 đồng biến trên tập xác định. Đạo hàm 2 y x x m Ycbt y 0 có hữu hạn nghiệm.
Câu 2: Cho hàm số 1 3 2 4 3 2017 3 y x mx m x. Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m để hàm số đã cho đồng biến trên. Chọn D. Tập xác định D. Đạo hàm 2 y x mx m. Để hàm số đồng biến trên y x 0 có hữu hạn nghiệm 2 4 3 0 1 3 m m m. Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là m 3. Câu 3: Cho hàm số 3 2 y x mx m x với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng?
Lời giải: Chọn C TXĐ: D. Đạo hàm 2 y x mx m. Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng thì y x có hữu hạn nghiệm. Sai lầm hay gặp là Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng thì. Khi đó ra giải ra 9 3 m. Câu 4: Cho hàm số 3 2 2 3 y x x m x m. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số đồng biến trên. Lời giải: Chọn D. TXĐ: D. Đạo hàm: 2 y mx x m Yêu cầu bài toán y 0 có hữu hạn nghiệm (không thỏa mãn).
Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m 1. Câu 5: Cho hàm số y m m x m. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên. Lời giải: Chọn C Ta có y m x m x. Yêu cầu bài toán y x (y 0 có hữu hạn nghiệm). TH1 m m 2 0 2 khi đó y x 0 0 (thỏa mãn). TH2 2 0 2 0. Hợp hai trường hợp ta được m. Câu 6: Cho hàm số mx m2 3 với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S A. 5 B. 4 C. Vô số. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y x m 2 2 3 m m. Sai lầm hay gặp là cho 0 1 3.