VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tính thể tích khối chóp có đường cao sẵn có, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tính thể tích khối chóp có đường cao sẵn có:
Dạng 1: Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC bằng? Lời giải: Chú ý: Nếu tam giác ABC đều cạnh a thì độ dài đường trung tuyến bằng m = 3 2 a. Ta có: SA ABC ⇒ (SC;(ABC) 60 SCA 2 2 3 3 tan 60 tan 60 3 S A 4 1 13 3 3 3 44 ABC ABC SA a SA AC a C a a V SA S a. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. Lời giải: Gọi H là trung điểm của AD AH ABCD. Ta có: 2 2 5 2 2 a a BH a 3 2 5 15 tan 60 3 2 2 1 1 15 15 a 3 32 6 S ABCD ABCD a a SH BH a a V SH S. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ABC. Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là? Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC AM BC và 3 2 a AM L BC SA BC SMA SBC ABC SMA ại có. Khi đó 2 3 3 tan 60 S 2 4 ABC a a SA AM. Thể tích khối chóp là: 3 1 3 4 8 ABC a V SA S. Chọn B. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a3. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AC. Biết SB tạo với đáy một góc 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là?
Lời giải: Gọi H là trung điểm của AC AH ABC. Khi đó SB ABC SBH. Ta có: 2 2 AC AB BC a 2. Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh huyền nên 2 AC BH a. Do 30 tan 30 a SBH SH HB. Lại có: 2 1 3 2 2 ABC a S BA BC. Suy ra: 2 3 1 13 S 3 3 26 3 S ABC ABC aa a V SH. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a3 cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60° tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Lời giải: Do SA ABCD SM ABCD SMA 60. Ta có: 2 2 AM AD DM a ⇒ SA AM a tan 60 2 3. Mặt khác 2 23 ABCD S AB AD a V aa a S ABCD. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. Lời giải: Ta có: AD AB AD SAB AD SA. Khi đó: (SD SAB DSA 30) suy ra SA AD SA a tan 30° 3. Do đó 3 1 3 3 3 S ABCD ABCD a V SA S. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB. Biết rằng SA a 7 và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp là? Lời giải: Ta có: 2 2 SH SA HA a 6. Dựng HK CD ta có: HK CD SH CD. Suy ra CD SHK SKH 60. Khi đó 6 tan 60 2 3 a HK SH HK a AD. Khi đó 3 2 1 43 22 3 3 ABCD ABCD a S a V SH S. Chọn D.
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB = 2CD = 2a và SA ⊥ (ABCD). Biết SA tạo với (SCD) một góc 30°. Thể tích khối chóp S ABCD là: Lời giải: Ta có: 2 2 AC AB BC a 2. Gọi I là trung điểm của AD ABCI ⇒ là hình vuông cạnh 2 AD a CI a ACD ⇒ ∆ vuông tại C. Khi đó CD SA CD SAC CD AC. Dựng AN SC SA SCD ASN ASC 30. Suy ra SA AC a cot 30 6.
Lại có: 2 3 2 2 ABCD AD BC a S AB. Do đó 3 1 6 3 2 S ABCD ABCD a V SA S. Chọn D. Ví dụ 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. Lời giải: Ta có BC AB BC SAB BC SA. Do đó (SC SAB SCB 30). Khi đó: 2 2 SB BC a SA SB AB a cot 30 3 2. Mặt khác 2 ABCD S a ⇒ 3 2 3 S ABCD a V. Chọn D.
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SDC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABCD là: Lời giải: Ta có ∆ABC đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác ABC CH AB CH BC ⇒ CD SHC SCH 60. Ta có: 3 2 3 3 2 3 3 a a OB BD a HB HC OB. Khi đó: 2 3 3 tan 60 S 2 3 2 ABCD ABC a a SH a S 2 3 32 6 SBCD a a V. Chọn A.