VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Đường trung tuyến của tam giác Định nghĩa 1. Cho tam giác ABC, đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ điểm A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC. A B C M 4! Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. 2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Tính chất 1. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Tính chất 2. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. Tính chất 3. Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta có AG = 2 3 AD; BG = 2 3 BE; CG = 2 3 CF. A G B F C E D Nhận xét 1 Từ kết quả trên ta có (AD, BE, CF là các trung tuyến) AG GD = BG GE = CG GF = 2; GD AD = GE BE = GF CF = 1 3. 2 Trọng tâm G của tam giác ABC luôn ở bên trong tam giác. 3 Để xác định trọng tâm G của tam giác ABC có thể sử dụng một trong hai cách Kẻ hai trung tuyến, và khi đó giao điểm của chúng là trọng tâm G.
Kẻ một trung tuyến (giả sử AD), trên đoạn AD lấy điểm G sao cho GA = 2GD (hoặc các tỉ số tương đương) và khi đó G là trọng tâm tam giác ABC. 4! Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trọng tâm: Nếu ∆ABC có trung tuyến AM, trọng tâm G thì AG = 2 3 AM; AG = 2GM; GM = 1 3 AM. Nếu một đường thẳng đi qua một đỉnh và trọng tâm thì chia đôi cạnh đối diện VÍ DỤ 1. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm. Đường trung tuyến BM, trọng tâm G. Tính độ dài đoạn BG. LỜI GIẢI. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại C BC2 = AB2 + AC2 ⇔ AC2 = BC2 − AB2 ⇒ AC = √ BC2 − AB2 = √ 102 − 8 2 = 6 cm. ⇒ AM = AC 2 = 3 cm. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABM vuông tại A, ta có BM2 = AB2 + AM2 = 82 + 32 = 73 ⇒ BM = √ 73 cm. G là trọng tâm ∆ABC nên BG = 2 3 BM = 2 √ 73 3 cm. A B C G M VÍ DỤ 2. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau, trọng tâm G. Biết AM = 4,5 cm, BN = 6 cm. Tính độ dài AB.
LỜI GIẢI. Xét ∆ABC, theo tính chất trọng tâm ta có AG = 2 3 AM = 3 cm, BG = 2 3 BN = 4 cm. Xét ∆ABG vuông tại G, theo định lý Py-ta-go ta có AB2 = AG2 + BG2 = 9 + 16 = 25 ⇒ AB = 5 cm. A B G N C M 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Trong hình sau, G là trọng tâm tam giác ABC 1 Biết AM = 15 cm, tính AG. 2 Biết GN = 6 cm, tính CN. 3 Tìm x biết AG = 4x + 6, AM = 9x. 4 Tìm x biết CG = 5x, GN = 3x − 2. A G B N C M LỜI GIẢI. 1 Vì G là trọng tâm ∆ABC nên AG = 2 3 AM = 2 3 · 15 = 10 cm. 2 Vì G là trọng tâm ∆ABC nên CN = 3GN = 3 · 6 = 18 cm. 3 Áp dụng tính chất trọng tâm ta có AG = 2 3 AM ⇔ 4x + 6 = 2 3 · 9x ⇔ 3 · (4x + 6) = 18x ⇔ 12x + 18 = 18x ⇔ 6x = 18 ⇔ x = 3. 4 Áp dụng tính chất trọng tâm ta có CG = 2GN ⇔ 5x = 2(3x − 2) ⇔ 5x = 6x − 4 ⇔ x = 4. BÀI 2. Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 8 cm, đường trung tuyến AM, trọng tâm G. Tính độ dài đoạn thẳng AG. LỜI GIẢI. Xét ∆AMB và ∆AMC có AM cạnh chung AB = AC (gt) MB = MC (M là trung điểm BC) ⇒ ∆AMB = ∆AMC. ⇒ AMB = AMC. Vì AMB + AMC = BMC = 180◦ nên AMB = AMC = 90◦ ⇒ AM ⊥ BC. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AMB vuông tại M A B C G M AB2 = AM2 + BM2 ⇒ AM2 = AB2 − BM2 = 52 − 4 2 = 9 ⇒ AM = 3 cm.
BÀI 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ hai đường trung tuyến AM và BN. Cho biết AM = 9 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài BN. LỜI GIẢI. Xét ∆AMB và ∆AMC có AM cạnh chung AB = AC (gt) MB = MC M là trung điểm BC ⇒ ∆AMB = ∆AMC. ⇒ AMB = AMC. Vì AMB + AMC = BMC = 180◦ nên AMB = AMC = 90◦ ⇒ AM ⊥ BC. Gọi G là giao điểm của AM và BN. Khi đó G là trọng tâm ∆ABC. A B C N G M BM = BC 2 = 8 2 = 4 cm. GM = 1 3 AM = 9 3 = 3 cm (tính chất trọng tâm). Áp dụng định lý Py-ta-go cho ∆GBM vuông tại M BG2 = GM2 + BM2 = 32 + 42 = 25 ⇒ BG = 5 cm. Theo tính chất trọng tâm BG = 2 3 BN ⇒ BN = 3 2 BG = 3 2 · 5 = 7,5 cm. DẠNG 2. Chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Chú ý đến tính chất đường trung tuyến đi qua trung điểm của một cạnh và tính chất trọng tâm để giải quyết yêu cầu bài toán.
VÍ DỤ 3 (Nguyễn Phú Thạch, EX-C2-Lop7-2018). [7H3B4] Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy D sao cho BD = BC. Chứng minh rằng 1 A là trọng tâm của ∆CDE. 2 CA đi qua trung điểm của DE. LỜI GIẢI. 1 Vì BC = BD nên B là trung điểm CD, suy ra EB là đường trung tuyến của ∆EDC Mặt khác, AE = 2AB ⇒ EB = AE + AB = 3AB ⇒ EA = 2 3 EB. Vậy A là trọng tâm ∆CDE. 2 Vì A là trọng tâm ∆CDE nên CA đi qua trung điểm DE. E D C B A VÍ DỤ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng BM = CN. LỜI GIẢI. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Ta có AM = 1 2 AC, AN = 1 2 AB suy ra AM = AN. Xét ∆AMB và ∆ANC có Ab góc chung AM = AN AB = AC ⇒ ∆AMB = ∆ANC (c.g.c). ⇒ BM = CN (cạnh tương ứng). A B N C M VÍ DỤ 5. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. LỜI GIẢI. Xét ∆ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM, ta sẽ chứng minh AM = 1 2 BC. Trên tia đối tia MA, lấy D sao cho MD = MA Xét ∆AMC và ∆DMB có AM = MD AMC = DMB BM = MC ⇒ ∆AMC = ∆DMB (c.g.c) ⇒ BD k AC.
Mà AC ⊥ AB nên suy ra BD ⊥ AB. B C A D M Xét ∆ACB và ∆BDA có BD = AC CAB = DBA = 90◦ AB cạnh chung ⇒ ∆ACB = ∆BDA (c.g.c) ⇒ BC = AD. Vì AM = 1 2 AD nên AM = 1 2 BC. 2. Bài tập tự luyện BÀI 4. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. LỜI GIẢI. Giả sử ∆ABC có BM, CN là các đường trung tuyến, BM = CN, G là trọng tâm BG = 2 3 BM; CG = 2 3 CN GM = 1 3 BM; GN = 1 3 CN Suy ra BG = CG; GM = GN. Mặt khác BGN = CGM. Suy ra ∆BGN = ∆CGM (c.g.c) ⇒ BN = CM. ⇒ AB = AC. Vậy ∆ABC cân tại A. A G B N C M BÀI 5. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BN, CP và G là trọng tâm. Chứng minh rằng BN + CP 3 2 BC. LỜI GIẢI. Xét ∆GBC có GB + GC BC (bất đẳng thức tam giác) Mà GB = 2 3 BN, GC = 2 3 CP (tính chất trọng tâm) nên 2 3 BN + 2 3 CP BC ⇒ BN + CP 3 2 BC. G A B P C N BÀI 6. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh rằng CG là đường trung tuyến của của ∆ACD. LỜI GIẢI. ∆ABC có có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm ⇒ MG = 1 2 AG. Mặt khác MG = MD ⇒ MG = 1 2 GD. Do đó GA = GD. Vậy CG là đường trung tuyến của ∆ACD.