Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Chúng ta đã biết các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông như sau: Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Ngoài ra nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Chứng minh trường hợp bằng nhau thứ 4 của hai tam giác vuông. LỜI GIẢI. Giả sử, có 4ABC vuông tại A và 4A1B1C1 vuông tại A1, biết AB = A1B1 và BC = B1C1, ta cần đi chứng minh rằng 4ABC = 4A1B1C1. Thật vậy Trong 4ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 ⇔ AC2 = BC2 − AB2 = B1C 2 1 − A1B 2 1. (1) Trong 4A1B1C1 vuông tại A1, ta có B1C 2 1 = A1B 2 1 + A1C 2 1 ⇔ A1C 2 1 = B1C 2 1 − A1B 2 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra AC2 = A1C 2 1 ⇔ AC = A1C1. Khi đó, xét 4ABC và 4A1B1C1 có AB = A1B1; Ab = Ab1 = 90◦ ; AC = A1C2. Vậy 4ABC = 4A1B1C1 (c.g.c). VÍ DỤ 2. Cho xOy khác góc bẹt. Trên tia phân giác Ot của xOy lấy điểm A. Gọi M là trung điểm của OA. Đường thẳng qua M vuông góc với OA cắt Ox, Oy theo thứ tự tại B, C. Chứng minh rằng AB k Ox, AC k Oy. LỜI GIẢI. Xét 4ABM và 4OBM có BM÷chung; AMB = OMB ÷= 90◦ ; MA = MO (vì M là trung điểm OA). Suy ra 4ABM = 4OBM (c.g.c). Suy ra Ab1 = Ob1, mà Ob1 = Ob2 (vì Ot là tia phân giác xOy ). Suy ra, Ab1 = Ob2, mà hai góc này ở vị trí so le trong. Suy ra AB k Ox. Chứng minh tương tự ta cũng có AC k Oy. 2 1 1 O C x A t M B y VÍ DỤ 3. Cho xOy nhọn, M là điểm nằm trong góc đó. 1 Hãy vẽ các điểm A và B sao cho Ox là đường trung trực của MA và Oy là đường trung trực của MB. 2 Chứng minh rằng điểm O thuộc đường trung trực của AB. 3 Tính số đo của góc AOB, biết xOy = α. 4 Hãy xác định vị trí của điểm O khi xOy = 90◦. LỜI GIẢI. 1 2 3 4 O M x y A Q P B 1 Ta thực hiện như sau Vẽ MP ⊥ Ox, rồi lấy trên tia MP điểm A sao cho P A = PM. Vẽ MQ ⊥ Oy, rồi lấy trên tia MQ điểm B sao cho QB = QM. 2 Ta có OM = OA (vì OP là trung trực của AM). (1) OM = OB (vì OQ là trung trực của BM). (2) Từ (1) và (2) suy ra OA = OB ⇔ O thuộc đường trung trực của AB. 3 Nhận xét về các cặp tam giác vuông có chung một cạnh khác bằng nhau, ta có 4P OA = 4P OM ⇒ Ob1 = Ob2. 4QOB = 4QOM ⇒ Ob3 = Ob4. Ta có xOy = Ob2 + Ob3. AOB = Ob1 + Ob2 + Ob3 + Ob4 = Ob1 + Ob4 + Ob2 + Ob3 = Ob2 + Ob3 + Ob2 + Ob3 = 2 Ob2 + Ob3 = 2xOy = 2α. 4 Do đã có OA = OB nên nếu xOy = 90◦ thì AOB = 2 · 90◦ = 180◦ ⇔ A, O, B thẳng hàng ⇔ O là trung điểm của AB. VÍ DỤ 4. Cho 4ABC đều. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BC = 3BD. Vẽ DE ⊥ BC (E ∈ BC), vẽ DF ⊥ AC (F ∈ AC). Chứng minh 4DEF là tam giác đều. LỜI GIẢI. Trong 4BDE vuông tại D ta có B = 60◦ nên BE = 2BD = CD. Xét 4EBD vuông tại D và 4CDF vuông tại F có EB = CD; B = Cb = 60◦. Suy ra 4EBD = 4CDF ⇒ DE = DF ⇒ 4DEF cân tại D. 3 2 1 B D C A E F Lại có D 2 = 180◦ − D 1 − D 3 = 180◦ − 30◦ − 90◦ = 60◦. Vậy 4DEF đều. VÍ DỤ 5. Cho 4ABC có B và Cb nhọn. Vẽ phía ngoài 4ABC, 4ABD vuông cân tại B và 4ACE vuông cân tại C. Vẽ DI ⊥ BC và EK ⊥ BC (I, K ∈ BC). Chứng minh 1 BI = CK. 2 BC = ID + EK. LỜI GIẢI. 2 1 2 1 2 1 I B H C K D A E Kẻ AH ⊥ BC. Ta lần lượt xét Xét 4AHC vuông tại H và 4CKE vuông tại K có – AC = CE (vì 4ACE cân tại C), – Ab1 = Cb1 (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc). Suy ra 4AHC = 4CKE (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra AH = CK (1) và HC = EK (2). Xét 4AHB vuông tại H và 4BID vuông tại I có – AB = BD (vì 4ABD cân tại B), – Ab2 = B 2 (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc). Suy ra 4AHB = 4BID (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra AH = BI (3) và HB = DI (4). 1 Từ (1) và (3) suy ra BI = CK. 2 Từ (2) và (4) suy ra HC + HB = EK + DI ⇔ BC = EK + DI.