VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai tam giác bằng nhau cạnh – góc – cạnh, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Hai tam giác bằng nhau cạnh – góc – cạnh:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Vẽ tam giác biết cạnh và góc xen giữa VÍ DỤ 1. Vẽ 4ABC, biết AB = c, AC = b, BAC = α. LỜI GIẢI. Ta lần lượt thực hiện: Vẽ góc xAy = α. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = c. Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = b. Nối tia BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. 2. Trường hợp bằng nhau canh-góc-cạnh Định lí 1. Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB = A 0B 0 Ab = A 0 AC = A 0C 0 ⇔ 4ABC = 4A0B0C 0. Khi đó ta có ngay Bc1 = B, Cc1 = Cb và BC = B1C1. A B A0 C B0 C 0 Hệ quả 1. Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. A B A0 C B0 C 0 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN C CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Chứng minh rằng: 1 4OAD = 4OBC. 2 AD//BC. LỜI GIẢI. A D O B C 1 Xét tam giác 4OAD và 4OBC, ta có OA = OB (O là trung điểm AB), AOD = BOC (đối đỉnh), OC = OD (O là trung điểm CD). Suy ra 4OAD = 4OBC (c – g – c). 2 Ta có 4OAD = 4OBC (cmt) suy ra DAO = CBO (hai góc tương ứng) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD//BC. VÍ DỤ 2. Trên đường trung trực d của đoạn AB lấy điểm C bất kỳ, H là trung điểm AB. 1 Chứng minh rằng 4HAC = 4HBC, từ đó suy ra CA = CB. 2 Chứng minh rằng đường thẳng d là phân giác của góc ACB. LỜI GIẢI. A C H B d Xét hai tam giác vuông 4HAC và 4HBC, ta có HA = HB, (giả thiết), AHC = BHC = 90◦ (giả thiết), CH là cạnh chung. Suy ra 4HAC = 4HBC (c – g – c), suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng).
Từ kết quả trên ta có ACH = BCH ⇒ d là phân giác của góc ACB. Nhận xét. Qua ví dụ trên, chúng ta ghi nhận kết quả: “Tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B cho trước là đường trung trực của AB” VÍ DỤ 3. Cho 4ABC, trung tuyến AM. Trên tia AM, lấy điểm D sao cho AD = 2AM. Chứng minh rằng: 1 AB//CD. 2 AC//BD. LỜI GIẢI. C D B A M 1 Xét hai tam giác 4MAB và 4MDC, ta có MB = MC (M là trung điểm BC), AMB = CMD (hai góc đối đỉnh), MA = MD (vì AD = 2AM). Suy ra 4MAB = 4MDC (c – g – c) ⇒ BAM = CDM (hai góc tương ứng) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB//CD. 2 Xét hai tam giác 4DMB và 4AMC, ta có MB = MC (M là trung điểm BC), BMD = AMC (đối đỉnh), MA = MD (vì AD = 2AM). Suy ra 4BMD = 4CMA (c – g – c) ⇒ MAC = MDB (hai góc tương ứng) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC//BD.
Nhận xét. Qua hai ví dụ trên, chúng ta đã xét những trường hợp thấy ngay được sự bằng nhau của cặp góc xen giữa, tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để có được điều này cần sử dụng một vài phép biến đổi góc. Ví dụ sau sẽ minh họa cho trường hợp này. VÍ DỤ 4. Cho 4ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D, C khác phía đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E, B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng 1 CD = BE. 2 CD⊥BE. LỜI GIẢI. C E B D I A K 1 Xét hai tam giác 4ABE và 4ADC, ta có AB = AD (giả thiết), BAE = BAC + CAE = BAC + 90◦ = BAC + BAD = DAC, AE = AC (giả thiết). Suy ra 4ABE = 4ADC (c – g – c) ⇒ BE = CD (hai cạnh tương ứng). 2 Giả sử CD cắt AB, BE theo thứ tự tại I, K. Theo kết quả câu a, ta có ADI = IBK. Trong tam giác 4BIK ta có IKB = 180◦ − IBK − KIB = 180◦ − ADI − AID = BAD = 90◦ ⇔ CD⊥BE, đpcm.
VÍ DỤ 5. Cho 4ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AC, AB. Trên tia BD lấy điểm M sao cho BM = 2BD, trên tia CE lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MN = 2BC. LỜI GIẢI. C M B N A E D Xét hai tam giác 4DAM và 4DCB, ta có BD = MD (vì BM = 2BD), Dc2 = Dc1 (hai góc đối đỉnh), DA = DC (vì D là trung điểm của AC). Suy ra 4DAM = 4DCB (c – g – c). Từ đây, ta nhận được AM = BC (1) Bc1 = M”2 mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM//BC. (2) Xét hai tam giác 4EAN và 4EBC, ta có NE = CE (vì E là trung điểm của CN), Ec2 = Ec1 (vì đối đỉnh), EA = EB (vì E là trung điểm của AB). Suy ra 4EAN = 4EBC. Từ đây, ta nhận được AN = BC, (3) Cc1 = Nc2 mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN//BC. (4). Từ (2) và (4) suy ra Ba điểm M, A, N thẳng hàng theo thứ tự đó ⇔ MN = MA+AN = BC+BC = 2BC, đpcm.
DẠNG 2. VẼ 4ABC, BIẾT AB = c, AC = b và BAC = α Phương pháp giải: Cách vẽ Ta lần lượt thực hiện Vẽ góc xAy = α. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = c. Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = b. Nối tia BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết.. y x A C B VÍ DỤ 1. Bài 24/tr 118 – SGK Vẽ 4ABC, biết AB = AC = 3cm, Ab = 90◦ sau đó hãy thử đo góc B, Cb. LỜI GIẢI. Ta lần lượt thực hiện Vẽ góc xAy = 90◦ Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3cm. Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 3cm. Nối tia BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết.. Thực hiện phép đo, ta nhận được B = Cb = 45◦. Thật vậy, xét 4ABC AB = AC = 3cm, Ab = 90◦. ⇒ 4ABC vuông cân tại A nên B = Cb = 180◦ − 90◦ 2 = 45◦. y x A C B D BÀI TẬP LUYỆN TẬP.