Hai tam giác bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai tam giác bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Hai tam giác bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Vẽ tam giác biết ba cạnh Bài toán: Vẽ 4ABC biết AB = c, BC = a, AC = b. Cách vẽ Ta lần lượt thực hiện: Vẽ đoạn thẳng AB = c. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A bán kính b, vẽ cung tròn tâm B, bán kính a. Hai cung tròn này cắt nhau ở C. Nối AC, BC ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. C A c B b a 2. Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh Định lí 1. Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Như vậy, nếu hai tam giác 4ABC và 4A1B1C1 thỏa mãn: AB = A1B1; BC = B1C1; CA = C1A1 thì 4ABC = 4A1B1C1 và khi đó ta có ngay: Ac1 = Ab; Bc1 = B ; Cc1 = Cb A A1 B C B1 C1 Nhận xét. Như vậy, để chứng tỏ hai tam giác bằng nhau chúng ta chỉ cần khẳng định ba cặp cạnh bằng nhau mà không cần phải nêu đủ 6 yếu tố bằng nhau (3 yếu tố cạnh và 3 yếu tố góc). Bằng việc khẳng định được sự bằng nhau của hai tam giác chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với việc chứng minh các tính chất trong tam giác. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho đoạn thẳng AB. Vẽ hai cung tròn tâm A, tâm B bán kính AB, chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh rằng: a) 4ABC = 4ABD. b) 4ACD = 4BCD. LỜI GIẢI. Theo cách dựng của giả thiết, ta có: AB = AC = BC = AD = BD. 1 Xét 4ABC và 4ABD có AB là cạnh chung; AC = AB (cmt); BC = BD (cmt). ⇒ 4ABC = 4ABD (c–c–c). 2 Xét 4ACD và 4BCD có CD là cạnh chung; AC = BC (cmt); AD = BD (cmt). ⇒ 4ACD = 4BCD (c–c–c). A B C D Nhận xét. Như vậy, để chứng tỏ hai tam giác bằng nhau chúng ta chỉ cần khẳng định ba cặp cạnh bằng nhau mà không cần phải nêu ra đủ 6 yếu tổ bằng nhau nữa (3 yếu tố cạnh và 3 yếu tố góc). Bằng việc khẳng định được sự bằng nhau của hai tam giác chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với việc chứng minh các tính chất trong tam giác, các ví dụ sau sẽ minh họa điều này. DẠNG 2. Sử dụng hai tam giác bằng nhau để giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 2. Cho 4ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là đường trung trực của BC. LỜI GIẢI. Để chứng minh AM là đường trung trực của BC, ta chỉ cần chứng minh AH ⊥ BC.
Xét hai tam giác 4ABM và 4ACM, ta có: AB = AC (giả thiết); BM = CM (vì M là trung điểm của BC); AM chung. B C A M 1 2 1 2 Suy ra: 4ABM = 4ACM (c.c.c) ⇒ M 1 = M 2. Mặt khác, ta lại có: M 1 + M 2 = 180◦ ⇔ M 1 + M 1 = 180◦ ⇔ 2M 1 = 180◦ ⇔ M 1 = 90◦ ⇔ AH ⊥ BC. Vậy AM là đường trung trực của BC. Nhận xét. Cũng từ kết quả 4ABM = 4ACM, ta suy ra được: Ac1 = Ac2 ⇒ AM là đường phân giác của góc Ab. Như vậy, trong 4ABC có AB = AC (4ABC cân tại A) thì AM vừa là trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác – Đây chính là tính chất cơ bản của tam giác cân. VÍ DỤ 3. Cho 4ABC. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán kính BA, chúng cắt nhau tại D (D và B nằm khác phía đối với AC). Chứng minh rằng AD k BC. LỜI GIẢI. Từ cách vẽ, ta nhận được: AD = BC, CD = AB.
Xét hai tam giác 4ABC và 4CDA, ta có: AB = CD, BC = DA, AC chung ⇒ 4ABC = 4CDA (c.c.c) ⇒ Ac1 = Cc1 ⇒ AD k BC, vì có hai góc so le trong bằng nhau. D C A B 1 1 4! Kết quả của ví dụ trên, cho phép chúng ta có thêm một phương pháp Dựng đường thẳng a đi qua điểm A và song song với đường thẳng d cho trước (A / d). Thật vậy: Lấy hai điểm B, C trên đường thẳng d. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán kính BA, chúng cắt nhau tại D (D và B nằm khác phía đối với AC). Khi đó, a chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. A D B C VÍ DỤ 4. Cho góc xOy. Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A và B. Vẽ các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm C. Nối O với C. Chứng minh rằng OC là tia phân giác của góc xOy. LỜI GIẢI. O C A x B y 1 2 Từ cách vẽ, ta nhận được: OA = OB, CA = CB.
Xét hai tam giác 4OAC và 4OBC, ta có: OA = OB, CA = CB; OC chung ⇒ 4OAC = 4OBC (c.c.c) ⇒ Oc1 = Oc2 ⇒ OC là tia phân giác của góc xOy. Nhận xét. Kết quả của ví dụ trên, cho phép chúng ta có thêm một phương pháp Dựng đường phân giác của một góc. Thật vậy, để dựng tia phân giác của góc xOy ta vẽ: Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A và B. Vẽ các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm C. Nối O với C, ta được OC là tia phân giác của góc xOy. DẠNG 3. Vẽ 4ABC, biết AB = c, BC = a, AC = b Phương pháp giải: Ta lần lượt thực hiện: Vẽ đoạn thẳng AB = c. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A, bán kính b, vẽ cung tròn tâm B bán kính a. Hai cung tròn này cắt nhau tại C. Nối AC, BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. VÍ DỤ 5. Vẽ 4ABC, biết AB = 3 cm, BC = 4 cm, CA = 5 cm. Sau đó hãy thử đo góc B. LỜI GIẢI. Ta lần lượt thực hiện: Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A, bán kính 5 cm, vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại C. Nối AC, BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. C A 3 cm B 5 cm 4 cm Thực hiện phép đo, ta nhận được B = 90◦. VÍ DỤ 6. Cho hai tam giác 4ABC, 4ABD biết AB = 4 cm, AC = BC = 3 cm, AD = BD = 5 cm và C, D nằm khác phía đối với AB. 1 Hãy vẽ 4ABC, 4ABD. 2 Chứng minh rằng CAD = CBD. LỜI GIẢI. 1 Ta lần lượt thực hiện: Vẽ 4ABC: Vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm, vẽ cung tròn tâm B bán kính 3 cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C. Nối AC, BC, ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. Vẽ 4ABD: Trên nửa mặt phẳng bờ AB khác phía với C, vẽ cung tròn tâm A bán kính 5 cm, vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D. Nối AD, BD, ta nhận được 4ABD thỏa mãn giả thiết. C D A B 2 Xét hai tam giác 4ACD và 4BCD, ta có: AC = BC; AD = BD; CD chung. ⇒ 4ACD = 4BCD ⇒ CAD = CBD suy ra điều phải chứng minh. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.