Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên Điểm A ở ngoài đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B bất kì (B 6= H). Khi đó Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Điểm H được gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên đường thẳng d. Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A dến đường thẳng d. Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d. A H B d 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. 4! Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. 3. Các đường xiên và các hình chiếu của chúng Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: 1 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. 2 Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. 3 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho hình vẽ, hãy chứng tỏ rằng : 1 Nếu HB HC thì AB AC và ngược lại, nếu AB AC thì HB HC. 2 Nếu HB = HC thì AB = AC và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC. A B H C LỜI GIẢI. Các tam giác HAB và tam giác HAC vuông tại H nên ta có ( HB2 = AB2 − AH2, HC2 = AC2 − AH2. 1 Với giả thiết HB HC ⇔ HB2 HC2 ⇔ AB2 −AH2 AC2 −AH2 ⇔ AB2 AC2 ⇔ AB AC (đpcm). 2 Với giả thiết HB = HC ⇔ HB2 = HC2 ⇔ AB2 −AH2 = AC2 −AH2 ⇔ AB2 = AC2 ⇔ AB = AC (đpcm). 4! Ta cũng có thể chứng minh được Nếu HB HC thì AB AC bằng việc sử dụng mối quan hệ góc với cạnh đối diện trong tam giác. Thật vậy, lấy điểm D trên HC sao cho HB = HD. Suy ra ∆ABD cân tại A ⇔ AB = AD. Trong ∆AHD ta có D 2 = H + HAD ⇒ D 2 là góc tù. Trong ∆ACD có D 2 là góc tù nên AC AD ⇒ AC AB. A H D C 1 2 DẠNG 2. Sử dụng tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 2. Cho ∆ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 8 cm.
Tính khoảng cách từ A đến BC. LỜI GIẢI. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến BC. Trong tam giác HAB vuông tại H, ta có: BH = 1 2 BC = 4 cm, vì ∆ABC cân tại A. AH2 = AB2 − BH2 = 52 − 4 2 = 25 − 16 = 9 ⇔ AH = 3 cm. Vậy khoảng cách từ A đến BC bằng 3 cm. A B H C VÍ DỤ 3. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Chứng tỏ rằng HC HB. LỜI GIẢI. Trong ∆ABC vuông tại A ta có AC2 = BC2 − AB2 = 102 − 6 2 = 100 − 36 = 64 ⇔ AC = 8 cm ⇒ AC AB ⇔ HC HB (đpcm). A B H C Nhận xét. Trong ví dụ trên, nếu chúng ta không sử dụng tính chất về mối liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên thì chúng ta cần đi xác định độ dài các đoạn thẳng BH và CH, để thực hiện công việc này rất cồng kềnh. VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên. LỜI GIẢI. Xét tam giác ABC cân tại A. Lấy một điểm D bất kì trên cạnh BC, chúng ta cần đi chứng minh AD ≤ AB. Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Nếu D thuộc cạnh BH thì DH ≤ BH ⇔ AD ≤ AB. Nếu D thuộc cạnh CH thì DH ≤ CH ⇔ AD ≤ AC ⇔ AD ≤ AB. A B D H D C VÍ DỤ 5.
Cho ∆ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. 1 Tính khoảng cách từ A đến BC. 2 Vẽ cung tròn tâm A có bán kính bằng 9 cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không, có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? LỜI GIẢI. a) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến BC. Trong ∆HAB vuông tại H ta có BH = 1 2 BC = 6 cm, vì ∆ABC cân tại A. AH2 = AB2 − BH2 = 102 − 6 2 = 100 − 36 = 64 ⇔ AH = 8 cm. Vậy khoảng cách từ A đến BC bằng 8 cm. A H B D C b) Theo kết quả câu a) ta có AH 9 cm ⇒ Cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC. Giả sử cung tròn đó cắt đường thẳng BC tại D, suy ra AD = 9 cm AB ⇔ DH BH. Vậy cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt cạnh BC. Nhận xét. Qua ví dụ trên, ta thấy: Một cung tròn tâm A bán kính R sẽ cắt đường thẳng a nếu khoảng cách từ A đến đường thẳng a lớn hơn R. Để xét xem cung tròn tâm A bán kính R có cắt đoạn thẳng BC hay không, chúng ta cần so sánh R với các đường xiên AB và AC. VÍ DỤ 6. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M (M 6= B). Trên cạnh AC lấy điểm N (N 6= C). Chứng minh rằng MN BC. LỜI GIẢI.
Nhận xét rằng: AM, AB theo thứ tự là hình chiếu của CM và CB, ta có AM AB ⇔ CM CB. (1) AN, AC theo thứ tự là hình chiếu của MN và MC, ta có AN AC ⇔ MN MC. (2) Từ (1) và (2) suy ra MN BC (đpcm). C N A M B 4! 1 Kết quả trên vẫn đúng khi thay ∆ABC vuông tại A bằng ∆ABC có Ab tù hoặc ∆ABC cân tại C hoặc ∆ABC có Ab ≥ B. 2 Ta có thể sử dụng mối quan hệ về góc và cạnh đối diện trong tam giác thực hiện ví dụ trên. Thật vậy Trong ∆BCM có BMC ÷là góc tù, do đó CM CB. (3) Trong ∆CMN có CNM ÷ là góc tù, do đó MN CM. (4) Từ (3) và (4) suy ra MN BC (đpcm). VÍ DỤ 7. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh đáy BC. Chứng minh rằng khi M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng các khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và AC vẫn không đổi. LỜI GIẢI. Kẻ đường cao BH, ME ⊥ AB, MF ⊥ AC. Kẻ MN k AC (N ∈ BH), suy ra MN ⊥ BH và MF = NH. (1) Xét hai tam giác vuông ∆BEM và ∆MNB ta có    BM chung BMN ÷= Cb = B do đó ∆BEM = ∆MNB (cạnh huyền và góc nhọn). Suy ra ME = BN.
(2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được MF + ME = NH + BN = BH không đổi. A N B M C H F E Vậy khi M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng các khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và AC vẫn không đổi. VÍ DỤ 8. Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm AC. Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. 1 So sánh AC với tổng AE + CF. 2 Chứng minh rằng AB 1 2 (BE + BF). LỜI GIẢI. 1 Ta lần lượt thấy Trong tam giác vuông EAM, ta có AM AE. (1) Trong tam giác vuông F CM, ta có CM CF. (2) Cộng theo vế (1), (2) ta được AM + CM AE + CF ⇔ AC AE + CF. A C F M B E 1 2 b) Xét hai tam giác vuông ∆EAM và ∆F CM, ta có: AM = CM, vì M là trung điểm AC Mc1 = Mc2, vì đối đỉnh do đó ∆EAM = ∆F CM (cạnh huyền và góc nhọn), suy ra EM = FM. Trong tam giác vuông ABM, ta có: AB BM, và vì BM = BE + EM nên AB BE + EM. (3) AB BM, và vì BM = BF − FM nên AB BF − FM. (4) Cộng theo vế (3), (4) và sử dụng kết quả EM = FM, ta được 2AB BE + BF ⇔ AB 1 2 (BE + FM), đpcm. 4! 1. Kết quả câu a) vẫn đúng khi ∆ABC tùy ý và M là điểm bất kì trên AC. 2. Kết quả câu b) vẫn đúng khi ∆ABC có góc Ab tù. VÍ DỤ 9. Cho ∆ABC cân tại A. Trên BC lấy các điểm D và E sao cho BAD = DAE = EAC.
So sánh các độ dài: a) AB và AE. b) BD và DE. LỜI GIẢI. Ta có: B = Cb, vì ∆ABC cân tại A BAD = EAC, giả thiết suy ra ADB = AEC ⇔ ADE = AED ⇔ ∆ADE cân tại A. Khi đó, gọi H là trung điểm DE thì AH ⊥ DE. A C E H D B 1 Vì BH, DH theo thứ tự là hình chiếu của AB và AD, ta có BH DH ⇔ AB AD ⇔ AB AE, vì AD = AE. b) Lấy điểm F trên AB sao cho AE = AF. Xét hai tam giác ∆AED và ∆AF D, ta có: AF = AE Ab2 = Ab1, giả thiết AD chung do đó ∆AED = ∆AF D suy ra: DE = DF E 1 = Fb1 ⇔ E 2 = Fb2. (1) A D B E F 1 2 2 1 1 2 Mặt khác, ta lại có E 2 B, vì E 2 là góc ngoài của ∆ABE. (2) Từ (1) và (2) suy ra Fb2 B. Khi đó, trong ∆BDF vì Fb2 B nên BD DF ⇔ BD DE.