VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai tam giác bằng nhau góc – cạnh – góc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Hai tam giác bằng nhau góc – cạnh – góc:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1. Nếu một tam giác có một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB = A 0B 0 Ab = A 0 B = Bc0 ⇔ 4ABC = 4A0B0C 0. A B A0 C B0 C 0 Khi đó ta có ngay AC = A0C 0, BC = B0C 0 và Cb = Cc0. Hệ quả 1. Nếu một tam giác vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. A B A0 C B0 C 0 Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Như vậy, nếu 4ABC vuông tại A và 4A0B0C 0 vuông tại A0 TH1: AB = A0B0 và B = Bc0 thì 4ABC = 4A0B0C 0. TH2: BC = B0C 0 và B = Bc0 thì 4ABC = 4A0B0C 0. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
Chứng minh hai tam giác bằng nhau Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho hình vẽ, ở đó AB k CD và AD k BC. Chứng minh rằng 4CDA = 4ABC, từ đó suy ra AB = CD và AD = BC. A D C B LỜI GIẢI. Xét hai tam giác 4ABC và 4CDA, ta có: BAC = ACD (vì AB k CD), BCA = DAC (vì AD k BC), AC là cạnh chung. Suy ra 4CDA = 4ABC ⇒ AB = CD, AD = BC. VÍ DỤ 2. Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B theo thứ tự thuộc Ox, Oy sao cho OA = OB. Vẽ AH vuông góc với Oy (H Oy), vẽ BK vuông góc với Ox (K Ox). Gọi M là giao điểm của AH và BK. 1 Chứng minh rằng 4OAH = 4OBK, từ đó suy ra OH = OK. 2 Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc xOy. LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác vuông 4OAH và 4OBK, ta có: OA = OB (giả thiết), Ob chung. Suy ra 4OAH = 4OBK (cạnh huyền góc nhọn). ⇒ OH = OK. 2 Xét hai tam giác vuông 4OMH và 4OMK, ta có OM chung, OH = OK.
Suy ra 4OMH = 4OMK (cạnh huyền và cạnh góc vuông) suy ra MOH = MOK ⇒ OM là phân giác của góc xOy. x y A B H M O K DẠNG 2. Sử dụng hai tam giác bằng nhau để giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho góc xOy. Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, trên Ot lấy điểm M. Đường thẳng d qua M và vuông với Ot cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A và B. 1 Chứng minh rằng OA = OB. 2 Lấy điểm C thuộc Ot, chứng minh rằng CA = CB và OAC = OBC. LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác 4OAM và 4OBM, ta có xOt = tOy d (vì Ot là phân giác của góc xOy), OM chung, AMO = BMO = 90◦, Suy ra 4OAM = 4OBM (g – c – g) ⇒ OA = OB. 2 Xét hai tam giác 4OAC và 4OBC, ta có OA = OB (cmt), AOC = BOC (vì Ot là phân giác xOy), OC chung.
Suy ra 4OAC = 4OBC (c – g – c) ⇒ CA = CB và OAC = OBC. x y t B M C A O VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC, có AB = AC. Lấy điể D, E theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho AD = AE. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng 1 BE = CD. 2 4OBD = 4OCE. LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác 4ABE và 4ACD, ta có AB = AC (gt), Ab chung, AE = AD (gt). Suy ra 4ABE = 4ACD (c – g – c) ⇒ BE = CD. A D B C E O 2 Xét hai tam giác 4OBD và 4OCE, ta có ABE = ACD (dựa vào kết quả câu a), BD = CE (vì AB = AC và AD = AE), BDO = CEO, Suy ra 4OBD = 4OCE. VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC (AB AC), tai Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE, BF vuông góc với Ax (E, F Ax). Chứng minh rằng BE = CF. LỜI GIẢI. Ta có thể sử lựa chọn một trong các cách trình bày sau: Cách 1 (sử dụng trường hợp bằng nhau g – c – g) Theo giả thiết, ta có (BE ⊥ Ax CF ⊥ Ax ⇒ BE k CF. Xét hai tam giác 4MBE và 4MCF, ta có EBM = MCF (vì BE k CF), MB = MC vì M là trung điểm BC, EMB = FMC (đối đỉnh).
Suy ra 4MBE = 4MCF (g – c – g) suy ra BE = CF. A B F C E M Cách 2 (sử dụng hệ quả) Xét hai tam giác vuông 4MBE và 4MCF, ta có MB = MC vì M là trung điểm BC, EMB = FMC (đối đỉnh). Suy ra 4MBE = 4MCF (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BE = CF. VÍ DỤ 4. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, E sao cho AD = BE. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với BC chúng cắt AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BC = DM + EN. LỜI GIẢI. Kẻ EF song song AC (F BC), xét hai tam giác 4CEF và 4ECN, ta có F EC = ECN (vì EF song song AC), ECF = NEC (vì EN song song BC). A B E D C M N F Suy ra 4CEF = 4ECN (g – c – g) suy ra EN = DC (1) Xét hai tam giác 4ADM và 4EBF, ta có Ab = BEF (vì EF song song AC), AD = BE (giả thiết), ADM = B (vì DM song song BC). Suy ra 4ADM = 4EBF (g.c.g) suy ra DM = BF (2) Cộng theo vế (1), (2) ta được EN + DM = F C + BD = BC. VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC, gọi D, E lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia DE lấy điểm F sao cho DE = EF. Chứng minh rằng 1 BD = CF, 2 4BCD = 4F DC, 3 DE = 1 2 BC.
LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác 4ADE và 4CF E, ta có AE = CE (vì E là trung điểm AC), AED = CEF (đối đỉnh), DE = F E, vì E là trung điểm DF. suy ra 4ADE = 4CF E (c – g – c) suy ra CF = BD = AD, vì D là trung điểm AB. A B D C E F 2 Từ kết quả câu a), suy ra ADE = EF C suy ra AB song song CF. Xét hai tam giác 4BCD và 4F DC, ta có BD = F C (câu a)), BDC = DCF (do AB song song CF), CD chung. Suy ra 4BCD = 4F DC (c.g.c) 3 Từ kết quả câu b) suy ra DE = 1 2 DF = 1 2 BC. VÍ DỤ 6. Cho 4ABC có Ab = 60◦. Các phân giác BD và CE cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ID = IE. LỜI GIẢI. 2 1 4 1 2 3 2 1 A I B K C E D Từ giả thiết về các phân giác BD và CE, ta được Bc1 = Bc2 = 1 2 B, Cc1 = Cc2 = 1 2 Cb. Suy ra Bc1 + Cc1 = 1 2 B + Cb = 1 2 180◦ − Ab = 1 2 (180◦ − 60◦) = 60◦. I 3 = I 4 = B + Cb = 60◦.
Trong 4IBC kẻ phân giác IK, ta nhận thấy I 1 = I 2 = 1 2 BIC = 1 2 180◦ + I 3 = 1 2 (180◦ + 60◦) = 60◦. Xét hai tam giác 4ICD và 4ICK, ta có I 1 = I 2 (chứng minh trên), IC là cạnh chung, Cc1 = Cc2 (chứng minh trên). Suy ra 4ICD = 4ICK (g – c – g) ⇒ ID = IK. (1) Chứng minh tương tự, ta được IE = IK. (2) Từ (1), (2) suy ra ID = IE. DẠNG 3. Vẽ 4ABC, biết AB = c, Ab = α, B = β Phương pháp giải: Ta lần lượt thực hiện Vẽ đoạn thẳng AB = c. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tia Ax và By sao cho xAB = α, ABy = β. Hai tia này cắt nhau tại C. Nối AC, BC ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. α β c C A x y B VÍ DỤ 1. Vẽ 4ABC, biết BC = 6 cm, B = 30◦, Cb = 60◦. Sau đó hãy thử đo độ dài cạnh AC và đưa ra nhận xét. LỜI GIẢI. Ta lần lượt thực hiện Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ BC, vẽ hai tia Bx và Cy sao cho xBC = 30◦, yCB = 60◦.
Hai tia này cắt nhau tại A. Nối AC, AB ta nhận được 4ABC thỏa mãn giả thiết. Thực hiện phép đo, ta nhận được AB = 3 cm. 30 ◦ 60 ◦ 6 cm A B x y C 4! Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh đối diện với góc 30◦ bằng một nửa cạnh huyền. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Cho hình vẽ, ở đó AB k CD và AB = CD. Chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AC và BD. A D O B C LỜI GIẢI. Ta có AB k CD nên Ab = Cb, B = D (so le trong) Xét hai tam giác 4OAB và 4OCD, ta có Ab = Cb (chứng minh trên), AB = CD (giả thiết), B = D (chứng minh trên), Suy ra 4OAB = 4OCD (g – c – g) ⇒ OA = OC và OB = OD. Vậy O là trung điểm của mỗi đường. BÀI 2. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình dưới dây (không xét các tam giác mà các cạnh chưa được kẻ). A E F G I H B C D LỜI GIẢI. Hình 1: Xét 4ABD và 4CBD ta có: ADB = CDB = 90◦, BD là cạnh chung, ABD = CBD (giả thiết).
Vậy 4ABD = 4CBD (g.c.g). Hình 2: Ta có F IG = EIH (giả thiết) F GI = EHI (giả thiết) F IG + F GI + GF I = EIH + EHI + HEI = 180◦ (định lý tổng ba góc trong tam giác) ⇒ GF I = HEI. Xét 4GF I và 4HEI ta có F IG = EIH (giả thiết), F I = EI (giả thiết), GF I = HEI (chứng minh trên). Vậy 4GF I = 4HEI (g-c-g). BÀI 3. Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M. Tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm N. So sánh các độ dài DN và EM. LỜI GIẢI. A N M D E Ta có ADE = AED (giả thiết) NDM = MDE = 1 2 ADE (DM là phân giác của góc ADE) MEN = NED = 1 2 AED (EN là phân giác của góc AED) ⇒ NED = MDE. Xét 4NED và 4MDE ta có: NDE = MED (giả thiết), DE là cạnh chung, NED = MDE (chứng minh trên). Vậy 4NED = 4MDE (g.c.g). ⇒ DN = EM (hai cạnh tương ứng).