VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1. Trong một tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. 4! Nhận xét: Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông – cạnh huyền) là cạnh lớn nhất. Trong tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1. Chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho ∆ABC có AB AC. Hãy so sánh hai góc B và Cb. LỜI GIẢI. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC, do AB AC nên D nằm giữa A và B. Trong ∆ACD, ta có: AC = AD ⇔ Cc1 = Dc1. Nhật xét rằng: Cb = Cc1 + Cc2 Cc1 (1) Dc1 = B + Cc2 B (2) Thay (1), (2) vào, ta được C b B. C B A D 1 2 1 4! Nhận xét: 1 Trong ∆ABC, góc B đối diện với cạnh AC, còn góc Cb đối diện với cạnh AB, điều này có nghĩa là Đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. 2 Ta có thể chứng minh C b B bằng cách khác như sau: Kẻ tia phân giác AE của góc Ab (E BC). Xét hai tam giác ∆ACE và ∆ADE, ta có: AC = AD (giả thiết) Ac2 = Ac1 (vì AE là phân giác góc Ab) AE chung Suy ra ∆ACE = ∆ADE. ⇒ Cb = Dc1 B (vì Dc1 là góc ngoài). C E B A D 1 1 2 VÍ DỤ 2. Cho ∆ABC có B Cb. Chứng minh rằng AB AC.
LỜI GIẢI. Giả sử trái lại, ta có AB ≥ AC. Khi đó, nhận thấy rằng: Nếu AB = AC thì Cb = B, mâu thuẫn. Nếu AB AC thì C b B, mâu thuẫn. Vậy ta luôn có AB AC. 4! Nhận xét Để thực hiện ví dụ trên chúng ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng và ở đó chúng ta đã tận dụng được hai định lí đã biết về góc. DẠNG 2. Sử dụng tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 3. So sánh các góc của ∆ABC, biết AB = 6cm, BC = 4cm, AC = 8cm. LỜI GIẢI. Ta nhận thấy rằng BC AB AC ⇔ A b C b B. VÍ DỤ 4. So sánh các cạnh của ∆ABC, biết Ab = 100◦, B = 40◦. LỜI GIẢI. Ta có: Cb = 180◦ − Ab − B = 180◦ − 100◦ − 40◦ = 40◦. Khi đó, nhận thấy rằng: B = C b Ab ⇔ AC = AB BC. VÍ DỤ 5. Cho ∆ABC có Ab = 80◦, B = 40◦. 1 So sánh các cạnh của ∆ABC. 2 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD, CB, CE. LỜI GIẢI. D A B E C 1 Trong ∆ABC, ta có: Cb = 180◦ − Ab − B = 180◦ − 80◦ − 40◦ = 60◦. Khi đó, nhận thấy rằng: A b C b B ⇔ BC AB AC. 2 Trong ∆BCD, ta có:D = 1 2 BAC = 40◦ = ABC ⇔ CD = CB. Trong ∆BCE, ta có: EBC = 180◦ − ABC = 180◦ − 40◦ = 120◦ là góc tù ⇒ CE CB. Vậy, ta được CD = CB CE. VÍ DỤ 6. Cho ∆ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AC.
So sánh độ dài của BC và BD. LỜI GIẢI. Trong ∆ABD, ta có: Dc2 = Ab + ABD ⇒ Dc2 là góc tù. Trong ∆BCD có Dc2 là góc tù nên BC BD. A D C B 1 2 VÍ DỤ 7. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. LỜI GIẢI. Xét ∆ABC vuông tại A, trung tuyến AD. Ta cần đi chứng minh AD = 1 2 BC. Giả sử ngược lại, tức là AD 6= 1 2 BC. Nếu AD 1 2 BC suy ra: AD BD ⇔ B Ac2, AD CD ⇔ C b Ac1 ⇒ B + C b Ac1 + Ac2 ⇔ 90◦ A, b mâu thuẫn. Nếu AD 1 2 BC suy ra: AD BD ⇔ B Ac2, AD CD ⇔ C b Ac1 ⇒ B + C b Ac1 + Ac2 ⇔ 90◦ A, b mâu thuẫn. Vậy ta luôn có AD = 1 2 BC. A C B D 1 2 VÍ DỤ 8. Cho ∆ABC có AB AC. 1 Gọi M là trung điểm của BC. So sánh BAM và CAM. 2 Tia phân giác của góc Ab cắt BC tại D. So sánh độ dài của BD và CD. LỜI GIẢI. 1 Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = KM. Xét hai tam giác AMC và KMB, ta có: AM = KM. M 1 = M 2, vì đối đỉnh. CM = BM, vì M là trung điểm BC, Do đó, ∆AMC = ∆KMB suy ra: CAM = BKM. BK = AC AB. Khi đó, trong ∆ABK vì: BK AB ⇔ BAK BKA ⇔ BAM CAM. B C K M A 1 2 2 Lấy điểm E trên AC sao cho AE = AB. Xét hai tam giác ∆ABD và ∆AED, ta có: AB = AE Ac2 = Ac1, vì AD là phân giác AD chung Do đó ∆ABD = ∆AED suy ra: BD = DE. Bc1 = Ec1 ⇔ Bc2 = Ec2.
(1) Mặt khác, ta lại có Bc2 Cb, vì Bc2 là góc ngoài ∆ABC.(2) Từ (1) và (2) suy ra Ec2 C. b Khi đó, trong ∆CDE vì Ec2 Cb ⇔ CD DE ⇔ CD BD. D C A E B 1 2 1 2 1 2 4! Nhận xét Qua ví dụ trên chúng ta có thể đánh giá được vị trí của các tia AB, AD, AM đó là Tia AD nằm giữa hai tia AB và AM. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. So sánh các góc của ∆ABC, biết 1 AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm. 2 AB = 8cm, BC = 6cm, AC = 4cm. 3 AB = 11cm, BC = 4cm, AC = 8cm. 4 AB = AC = 11cm, BC = 15cm. LỜI GIẢI. 1 Vì AB BC AC nên C b A b B. 2 Vì AB BC AC = 4cm nên C b A b B. 3 Vì BC AC AB nên A b B C. b 4 Vì AB = AC BC nên Cb = B A. b BÀI 2. So sánh các cạnh của ∆ABC, biết 1 B = 90◦, Cb = 45◦. 2 Cb = 80◦, Ab = 20◦. LỜI GIẢI. 1 Ta có: Ab = 180◦ − B − Cb = 180◦ − 90◦ − 45◦ = 45◦. Khi đó, nhận thấy rằng Ab = C b B ⇔ BC = AB AC. 2 Ta có: B = 180◦ − Ab − Cb = 180◦ − 20◦ − 80◦ = 100◦. Khi đó, nhận thấy rằng A b C b B ⇔ BC AB AC. BÀI 3. Cho ∆ABC có Ab = 85◦, B = 40◦. 1 So sánh các cạnh của ∆ABC. 2 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD, CB, CE. LỜI GIẢI. D A B E C 85◦ 40◦ 1 Ta có: Cb = 180◦ − Ab − B = 180◦ − 85◦ − 40◦ = 55◦. Khi đó, nhận thấy rằng B C b Ab ⇔ AC AB BC. 2 Trong tam giác cân ACD có DAC = 95◦ (bù với góc BAC) nên ADC = ACD = 42, 5 ◦. Khi đó, xét tam giác BCD có CBD BDC ⇔ BC CD. (1) Trong tam giác cân BCE có EBC = 140◦ nên BEC = BCE = 20◦.
Khi đó, xét tam giác DEC có DEC EDC ⇔ CD CE. (2) Từ (1) và (2) suy ra CB CD CE. BÀI 4. Cho ∆ABC có Ab = 45◦, B = 95◦. 1 So sánh các cạnh của ∆ABC. 2 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD, CB, CE. LỜI GIẢI. E B A D C 95◦ 45◦ 1 Ta có: Cb = 180◦ − Ab − B = 180◦ − 45◦ − 95◦ = 40◦. Khi đó, nhận thấy rằng C b A b B ⇔ AB BC AC. 2 Trong tam giác cân BCE có EBC = 85◦ (bù với góc ABC) nên BEC = BCE = 47, 5 ◦. Khi đó, xét tam giác BCE có BEC EBC ⇔ CB CE. (1) Trong tam giác cân ADC có DAC = 135◦ nên ABC = ACB = 22, 5 ◦. Khi đó, xét tam giác EDC có EDC DEC ⇔ CE CD. (2) Từ (1) và (2) suy ra CB CE CD. BÀI 5. Cho ∆ABC có góc B tù. Lấy điểm D trên cạnh BC. Chứng minh rằng AB AD AC. LỜI GIẢI. Ta lần lượt xét: Trong ∆ABD có góc B tù, do đó: Dc1 B ⇔ AB AD. (1) Trong ∆ADC, ta có: Dc2 B, vì Dc2 là góc ngoài ∆ABD. B Cb, vì ∆ABC có góc B tù. ⇒ C b Dc2 ⇔ AD AC. (2) Từ (1) và (2) suy ra AB AD AC. B D C A 2 1 BÀI 6. 1 Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh góc vuông đối diện với góc 30◦ bằng một phần hai cạnh huyền. 2 Áp dụng: Cho ∆ABC có Ab = 60◦, các góc B, Cb đều nhọn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, AB. Kẻ các đường cao BH, CK.
Xác định dang của các tam giác ∆AHN, ∆AKM. LỜI GIẢI. 1 Giả sử ∆ABC vuông tại A có Cb = 30◦, ta cần đi chứng minh AB = 1 2 BC. Ta có thể chứng minh bằng một trong hai cách sau: Cách 1: Trên BC lấy điểm M sao cho AB = MB ⇒ ∆ABM là tam giác cân ⇒ ∆ABM là tam giác đều vì có B = 60◦ ⇔ AB = BM = MA. Trong ∆MAC, ta có: Ac1 = 90◦ − 60◦ = 30◦ = Cc1 ⇔ ∆MAC cân tại M ⇔ MA = MC. Khi đó BC = BM + CM = AB + AB ⇔ AB = 1 2 BC. B A D C M 1 1 2 Cách 2: Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Nhận xét rằng ∆BCD có đường cao CA cũng là đường trung tuyến nên ∆BCD là tam giác cân ⇒ ∆BCD là tam giác đều vì có B = 60◦. Khi đó BC = BD = 2AB ⇔ AB = 1 2 BC. 2 Ta lần lượt xét: Trong ∆HAB vuông tại H, ta có Ab = 60◦ ⇔ ABH = 30◦ ⇔ AH = 1 2 AB = AN. Vậy tam giác AHN là tam giác đều vì nó là tam giác cân có góc A bằng 60◦. Trong ∆KAC vuông tại K, ta có Ab = 60◦ ⇔ ACK = 30◦ ⇔ AK = 1 2 AC = AM. Vậy tam giác AKM là tam giác đều vì nó là tam giác cân có góc A bằng 60◦. 4! Nhận xét: Qua bài tập trên, chúng ta thu được kết quả: Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh đối diện với góc 30◦ bằng nửa cạnh huyền và ngược lại.