VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tam giác cân, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Tam giác cân:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa Định nghĩa 1. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Với 4 cân tại A, ta nói AB, AC gọi là hai cạnh bên (AB = AC) và BC là cạnh đáy. Các góc B, Cb là hai góc ở đáy và Ab là góc ở đỉnh. Các góc B, Cb là hai góc ở đáy và Ab là góc ở đỉnh. B C A 2. Tính chất Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Định nghĩa 2. Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai góc vuông bằng nhau. Như vậy, với 4ABC vuông cân tại A, ta có AB = AC Ab = 90◦ B = Cb = 45◦. B C A 3. Tam giác đều Định nghĩa 3. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Ta có được các kết quả sau. 1 Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60◦. 2 Một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. 3 Một tam giác cân có một góc 60◦ thì đó là tam giác đều. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Chứng minh tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho 4ABC đều.
Chứng minh rằng Ab = B = Cb = 60◦. LỜI GIẢI. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau. Cách 1: Dựa trên tính chất của tam giác cân Vì 4ABC đều nên ta lần lượt có: BC = AB ⇔ 4ABC cân tại C ⇔ Ab = B. AB = BC ⇔ 4ABC cân tại B ⇔ Ab = C. b Mặt khác, ta lại có Ab + B + Cb = 180◦ Ab + Ab + Ab = 180◦ 3Ab = 180◦ Ab = 60◦. Vậy 4ABC có Ab = B = Cb = 60◦. Cách 2: Trình bày theo sự tương ứng đỉnh của các tam giác bằng nhau. Từ giả thiết 4ABC = 4ACB (c.c.c) ⇒ B = Cb (dựa trên sự tương ứng đỉnh) 4ACB = 4BCA (c.c.c) ⇒ Ab = B (dựa trên sự tương ứng đỉnh) Mặt khác, ta có Ab + Ab + Ab = 180◦ 3Ab = 180◦ Ab = 60◦. Vậy 4ABC có Ab = B = Cb = 60◦. VÍ DỤ 2. Cho 4ABC có Ab = B = Cb. Chứng minh rằng 4ABC là tam giác đều. LỜI GIẢI. Từ giả thiết ta lần lượt có Ab = B ⇔ 4ABC cân tại C ⇔ CA = CB. B = Cb ⇔ 4ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Từ đó, suy ra AB = BC = CA ⇔ 4ABC là tam giác đều. B C A Nhận xét. Trong trường hợp 4ABC cân tại A có một góc bằng 60◦ thì nó cũng là tam giác đều, bởi Nếu Ab = 60◦ thì B + Cb = 180◦ − Ab ⇔ 2B = 180◦ − 60◦ ⇔ B = Cb = 60◦ Do đó Ab = B = Cb ⇔ 4ABC là tam giác đều.
VÍ DỤ 3. Cho 4ABC. Chứng minh rằng 1 Nếu 4ABC cân tại A thì B = Cb. 2 Nếu B = Cb thì 4ABC cân tại A. LỜI GIẢI. 1 Dựng tia phân giác của góc Ab cắt BC ở D. Xét hai tam giác 4ADB và 4ADC, ta có AB = AC (4ABC cân tại A); Ac1 = Ac2 (vì AD là đường phân giác của góc Ab); AD cạnh chung. Suy ra 4ADB = 4ADC (c.g.c) ⇒ B = C. b 2 Vẽ tia phân giác góc Ab, cắt BC tại D. Xét hai tam giác 4ADB và 4ADC, ta có Ac1 = Ac2 (vì AD là đường phân giác của Ab). AD là cạnh chung. Dc1 = 180◦ − Ac1 − B = 180◦ − Ac2 − Cb = Dc2. Suy ra 4ADB = 4ADC (g.c.g) ⇒ AB = AC ⇔ 4ABC cân. B D C A 1 1 2 2 VÍ DỤ 4. Cho 4ABC. Chứng minh rằng. 1 Nếu đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến thì 4ABC cân tại A. 2 Nếu 4ABC cân tại A thì đường trung tuyến AH cũng đồng thời là đường cao. LỜI GIẢI. 1 Trong 4ABC, ta có Vì AH là đường cao nên AHB = AHC = 90◦. Vì AH là trung tuyến nên HB = HC. Xét hai tam giác 4AHB và 4AHC, ta có HB = HC; AHB = AHC = 90◦ ; AH là cạnh chung. Suy ra 4AHB = 4AHC (c.g.c) ⇒ AB = AC ⇔ 4ABC cân tại A. 2 Ta có nhận xét Vì 4ABC cân tại A nên AB = AC và 4B = 4C. Vì AH là trung tuyến nên HB = HC. B H C A Xét hai tam giác 4AHB và 4AHC, ta có AB = AC, B = Cb; HB = HC.
Suy ra 4AHB = 4AHC (c.g.c) ⇒ Hc1 = Hc2. Mặt khác Hc1 + Hc2 = 180◦ ⇔ 2Hc1 = 180◦ ⇔ Hc1 = Hc2 = 90◦ ⇔ AH là đường cao. 4! 1 Từ đây, chúng ta có thêm được một tính chất là Nếu một tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân. 2 Các em học sinh hãy chứng minh thêm các tính chất: Nếu một tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. Nếu một tam giác có đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân. Trong tam giác cân hai phân giác (đường cao, trung tuyến) ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau. Hãy thử xem điều ngược lại có đứng không? Nếu 4ABC cân tại A thì B 90◦ – Hãy thử nêu ý nghĩa của tính chất này. DẠNG 2. Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tam giác cân, tam giác đều. VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
Chứng minh rằng 4AMN cân. LỜI GIẢI. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng định nghĩa Vì 4ABC cân tại A nên AB = AC và B = Cb Xét 4BAM và 4CAN có AB = AC; B = Cb; BM = CN (gt). ⇒ 4BAM = 4CAN (c.g.c) ⇒ AM = AN ⇒ 4AMN cân tại A. Cách 2: Sử dụng tính chất Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Suy ra BH = CH. Từ giả thiết BM = CN ta suy ra HM = HN. Tam giác AMN có AH vừa là đường cao, vừa là dường trung tuyến nên 4AMN cân tại A. A B M H N C VÍ DỤ 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng a qua điểm A sao cho B, C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a. Vẽ BH ⊥ a, CK ⊥ a(H, K ∈ a). Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: 1 AH = CK. 2 HK = BH + CK. 3 4MHK vuông cân. LỜI GIẢI. 1 Xét hai tam giác vuông 4AHB và 4CKA, ta có AB = AC (giả thiết) HAB = 180◦−BAC −KAC = 180◦−90◦−(90◦−ACK ) = ACK Suy ra: 4AHB = 4CKA (cạnh huyền – góc nhọn). ⇒ HBA = KAC, BH = AK và AH = CK. 2 Ta có ngay HK = AK + AH = BH + CK 3 Xét hai tam giác 4MHB và 4MKA, ta có BH = AK (theo kết quả a) HBM = HBA + ABM = KAC + 45◦ = KAM MB = 1 2 BC = MA, trung tuyến thuộc cạnh huyền. ⇒ 4MHB = 4MKA (c.g.c) Từ đó, MH = MK ⇒ 4MHK cân tại M BMH = AMK ⇒ HMK = HMA + AMK = HMA + BMH = BMA = 90◦ Vậy 4MHK vuông cân tại M B M C A H K VÍ DỤ 7. Cho 4ABC đều.
Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các tia đối của tia AC, BA, CB, sao cho AM = BN = CP. Chứng minh rằng 4MNP là tam giác đều. LỜI GIẢI. Xét ba tam giác 4AMN, 4BNP, 4CPM, ta có: AM = BN = CP (gt) Ac1 = Bc1 = Cc1 = 120◦ AN = BP = CM = AM + AC Suy ra: 4AMN = 4BNP = 4CPM ⇒ MN = NP = PM ⇔ 4MNP là tam giác đều. 1 1 1 N P A B C M VÍ DỤ 8. Cho ba điểm A, C, B thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên cùng một nửa mặt phằng bờ AB, vẽ các tam giác đều ACD, BCE. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng 4CIK là tam giác đều. LỜI GIẢI. Xét tam giác 4ACE và tam giác 4DCB có: AC = DC, vì chúng là cạnh của tam giác đều ACE = ACD + DCE = 60◦ + DCE = BCE + DCE = DCB CE = CB, vì chúng là cạnh của tam giác đều Suy ra 4ACE = 4DCB (c.g.c) ⇒ CI = CK (hai trung tuyến tương ứng). Mặt khác ta có: DCE = 180◦ − ACD − BCE = 180◦ − 60◦ − 60◦ = 60◦ Cc1 = Cc2 ⇒ ICK = 60◦. Vậy 4CIK là tam giác cân có một góc bằng 60◦ nên nó là tam giác đều. 1 2 D I E A C B K DẠNG 3. Sử dụng tam giác cân, tam giác đều để giải toán định lượng Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh góc vuông đối diện với góc 30◦ bằng một phần hai cạnh huyền. LỜI GIẢI. Giả sử 4ABC vuuông tại A có Cb = 30◦, ta cần đi chứng minh AB = 1 2 BC.
Ta có thể lựa chọn một trong những cách sau: Cách 1: Trên BC lấy điểm M sao cho AB − MB. ⇒ 4ABM là tam giác cân. ⇒ 4ABM là tam giác đều vì có B = 60◦ ⇔ AB = BM = MA Trong 4MAC, ta có: Ac1 = 90◦ − 60◦ = 30◦ = Cc1 ⇔ MA = MC. Khi đó: BC = BM + MC = AB + AB ⇔ AB = 1 2 BC. Cách 2: Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Nhận xét rằng 4BCD có đường cao CA cũng là đường trung tuyến nên 4BCD là tam giác cân. ⇒ 4BCD là tam giác đều vì có B = 60◦. ⇒ BC = BD = 2AB ⇔ AB = 1 2 BC. B A D C M 1 1 2 4! Qua ví dụ trên, chúng ta thu nhận được một kết quả sau: Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh đối diện với góc 30◦ bằng một nửa cạnh huyền và ngược lại. VÍ DỤ 2. Cho 4ABC, có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc Ab thành 3 góc bằng nhau. Tính số đo các góc của 4ABC. LỜI GIẢI. Lấy điểm K trên cạnh AC sao cho AK = AH. Trong 4ABM có đường cao AH cũng là đường phân giác nên 4ABM cân tại A ⇒ MH = 1 2 BM. Xét hai tam giác 4AHM, 4AKM, ta có AH = AK; Ac2 = Ac3 (gt); AM chung. Suy ra 4AHM = 4AKM, nên AKM = AHM = 90◦ và MK = MH = 1 2 BM = 1 2 MC. Trong 4KMC vuông tại K, ta có MK = 1 2 MC ⇔ Cb = 30◦ ⇒ HAC = 90◦ − 30◦ = 60◦ ⇒ Ab = 3 2 HAC = 90◦. B = 180◦ − Ab − Cb = 60◦. 1 2 3 B H M C A K 4! Qua ví dụ trên, chúng ta thấy được một kết quả: Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì các đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông sẽ chia góc vuông thành 3 phần bằng nhau và ngược lại.