VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Lũy thừa của một số hữu tỉ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Lũy thừa của một số hữu tỉ:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu là x n, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1). x n = x · x · x x z n thừa số (x Q, n N, n 1) đọc là x mũ n hoặc n lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Quy ước: Ta quy ước: x 1 = x, x0 = 1 (với x khác 0). Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng x = a b (với a, b Z, b khác 0), ta có: a b n = a b · a b a b z n thừa số = n thừa số z a · a a b · b b z n thừa số Vậy, ta luôn có a b n = a n b n 2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số Với mọi x Q; m, n N, m ≥ n. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. Tức là: x m ·x n = x m+n.
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia. Tức là: x m : x n = x m−n (với x khác 0) 3. Lũy thừa của lũy thừa Với mọi x Q; m, n N. Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ. Tức là: (x m) n = x m.n. 4. Lũy thừa của một tích Với mọi x, y Q; n N. Lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa. Tức là: (x · y) n = x n · y n. 5. Lũy thừa của một thương Với mọi x, y Q, y khác 0; n N. Lũy thừa của một thương thì bằng thương các lũy thừa. Tức là: x y ãn = x n y n. 6. Lũy thừa với số mũ nguyên âm Với mọi x Q, x khác 0; n N ∗. Ta có: x −n = 1 x n. 4! Nhận xét: Như vậy: Cho m n 0. Có thể xảy ra 3 trường hợp sau: 1 Nếu a 1 thì a m an. 2 Nếu a = 1 thì a m = a n. 3 Nếu a 1 thì a m an. Lũy thừa bậc chẵn của hai số đối nhau thì bằng nhau (−x) 2n = x 2n Lũy thừa bậc lẻ của hai số đối nhau thì đối nhau (−x) 2n+1 = −x 2n+1.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Tính giá trị của các biểu thức: 1 A = 22 − (−3 2) 3 + 4−2 · 16 − 2.5 2. 2 B = 2 3 : 1 2 · 1 8 + 3−2 · 9 − 7 · 14 25ã0 + 5. LỜI GIẢI. 1 Ta có: A = 22 − −3 2 3 + 4−2 · 16 − 2.5 2 = 4 − (−9)3 + 1 4 2 · 16 − 2.25 = 4 + 729 + 1 − 50 = 684 2 Ta có: B = 2 3 : 1 2 · 1 8 + 3−2 · 9 − 7. 14 25ã0 + 5 = 23 · 2 · 1 8 + 1 9 · 9 − 7.1 + 5 = 2 + 1 − 7 + 5 = 1 VÍ DỤ 2. Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn các đẳng thức sau: 1 3 −2 · 9 n = 3n. 2 9 = 3 5 4a. 3 a (n+5)(n−8) = 1. 4 1 2 · 2 n = 21 · 3 2 · 4 2 − 4 · 2 n. LỜI GIẢI. 1 Ta có: 3 −2 · 9 n = 3n ⇔ 3 −2 · 3 2n = 3n ⇔ 3 −2+2n = 3n ⇔ 2n − 2 = n ⇔ n = 2. Vậy, đẳng thức đúng khi n = 2. 2 Ta có: 9 = 3 5 4a ⇔ ñ 3 5 ã2 ôn = 3 5 4a ⇔ 3 5 = 3 5 4a ⇔ 2n = −4 ⇔ n = −2 Vậy đẳng thức đúng khi n = −2. 3 Ta có: a (n+5)(n−8) = 1 ⇔ (n + 5)(n − 3) = 0 ⇔ n + 5 = 0 n − 3 = 0 ⇔ n = −5 n = 3.
Vậy, đẳng thức đúng khi n = −5 hoặc n = 3. 4 Ta có: 1 2 · 2 n = 21 · 3 2 · 4 2 − 4.2 n ⇔ 2 −1 · 2 n + 4 · 2 n = 32 · 2 · 2 2 2 ⇔ 2 n−1 + 4 · 2 n = 9.2 5 ⇔ 2 n−1 (1 + 4.2) = 9 · 2 5 ⇔ 2 n−1 · 9 = 9 · 2 5 ⇔ 2 n−1 = 25 ⇔ n − 1 = 5 ⇔ n = 6 Vậy, đẳng thức đúng khi n = 6. VÍ DỤ 3. Tìm x biết: (2x − 2) a) 2 = 16. 3 x+1 − 3 b) x = 162. (1 − x) c) 3 = 216. 5 x+1 − 2 · 5 d) x = 375. LỜI GIẢI. 1 Ta có: (2x − 2)2 = 16 ⇔ (2x − 2)2 = (±4)2 ⇔ 2x − 2 = 4 2x − 2 = −4 ⇔ x = 3 x = −1. Vậy, có hai số cần tìm là x = 3 và x = −1. 2 Ta có: 3 x+1 − 3 x = 162 ⇔ 3 x (3 − 1) = 162 ⇔ 3 x = 81 ⇔ 3 x = 34 ⇔ x = 4. Vậy, số cần tìm là x = 4. 3 Ta có: (1 − x) 3 = 216 ⇔ (1 − x) 3 = 63 ⇔ 1 − x = 6 ⇔ x = −5. Vậy, số cần tìm là x = −5. 4 Ta có: 5 x+1 − 2 · 5 x = 375 ⇔ 5 x (5 − 2) = 375 ⇔ 5 x = 125 ⇔ 5 x = 53 ⇔ x = 3. Vậy, số cần tìm là x = 3. VÍ DỤ 4. Tìm các số tự nhiên n, biết: 4 2 a) n ≤ 2 · 16. 9 · 27 ≤ 3 b) n ≤ 243.
LỜI GIẢI. 1 Ta có: 4 = 22, 2 · 16 = 2 · 2 4 = 21+4 = 25, do đó 4 2 n ≤ 2 · 16 ⇔ 2 2 2 n ≤ 2 5 ⇔ 2 n ≤ 5 Từ đó, ta có các số tự nhiên n là n = 3, n = 4, n = 5. 2 Ta có: 9 · 27 = 32 · 3 3 = 32+3 = 35, 243 = 35, do đó 9 · 27 ≤ 3 n ≤ 243 ⇔ 3 5 ≤ 3 n ≤ 3 5 ⇔ 5 ≤ n ≤ 5 Từ đó, ta có các số tự nhiên n là n = 5. C BÀI TẬP LUYỆN TẬP.