Tập hợp R các số hữu tỉ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tập hợp R các số hữu tỉ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Tập hợp R các số hữu tỉ:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Số hữu tỉ Định nghĩa 1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng a b với a, b Z và b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q. Nhận xét. Tập hợp số hữu tỉ Q là tập hợp số nguyên Z trong đó phép chia cho một số khác 0 luôn được thực hiện. Các phân số bằng nhau xác định cùng một số hữu tỉ và một trong số đó là một đại diện của số hữu tỉ. Mỗi số hữu tỉ được xác định bởi phân số đại diện và các phép toán trên số hữu tỉ đều được xác định trên các phép toán của phân số đại diện. 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số Giả sử cần biểu diễn số hữu tỉ a b với a, b Z và b 0, ta thực hiện theo các bước Bước 1: Chia đoạn thẳng đơn vị thành b phần bằng nhau. Lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng 1 b đơn vị cũ. Bước 2: Biểu diễn a theo đơn vị mới. Nhận xét. Các điểm hữu tỉ dương nằm bên phải điểm O, các điểm hữu tỉ âm nằm bên trái điểm O. Giữa hai số hữu tỉ phân biệt bao giờ cũng có một số hữu tỉ khác chúng.
Ta nói “Tập hợp số hữu tỉ R có tính chất trù mật”. Phần nguyên của số hữu tỉ x (Kí hiệu: [x]) là một số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Tức là [x] ≤ x [x] + 1. 3. So sánh hai số hữu tỉ Với hai số bất kì x, y Q, ta luôn viết được dưới dạng x = a b và y = b m với m 0. Từ đó ta có Nếu x = y thì a = b. Nếu x y thì a b. Nếu x y thì a b. Nhận xét: Để so sánh hai số hữu tỉ x và y ta thực hiện các bước Bước 1: Biển đổi hai số x và y về dạng phân số có cùng mẫu số dương. Bước 2: Sử dụng nhận xét trên. Bước 3: Kết luận. 4. Số hữu tỉ dương, âm Cho x Q, ta có x 0 ⇔ x là số dương. x 0 ⇔ x là số âm. x = 0 thì x không là số âm cũng không là số dương. Từ đó, ta rút ra một số tính chất sau: Cho hai số hữu tỉ a b, c d. Ta có Tính chất 1. a b c d ⇔ ad bc với b 0, d 0. Tính chất 2. Nếu a b c d thì a b a + c b + d c d với b 0, d 0. Tính chất 3. −a b = a −b với b khác 0. Tính chất 4. a b = a b với b khác 0. Tính chất 5. a b = −a −b với b khác 0.
B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Biểu diễn số hữu tỉ Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Nêu các bước để biểu diễn số hữu tỉ 3 2 trên trục số. Từ đó, biểu diễn số hữu tỉ − 5 2 trên trục số đó. LỜI GIẢI. Ta thực hiện theo các bước Chia đoạn thẳng đơn vị thành hai phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới. Ta được O 1 Biểu diễn 3 theo đơn vị mới. Do đó, số hữu tỉ 3 2 được biểu diễn bằng điểm A nằm ở trên điểm O và cách điểm O một đoạn bằng 3. Điểm − 5 2 được biểu diễn hoàn toàn tương tự. O 1 3 2 A − 5 −2 −1 2 B VÍ DỤ 2. Viết 3 đại diện của mỗi số hữu tỉ sau rồi nêu dạng tổng quát của nó. x1 = −6; x2 = − 7 3 ; x3 = 5 12 ; x4 = −1,25; x5 = 6 4. LỜI GIẢI. Ta có: x1 = −6 = −6 1 = −12 2 = −24 4=−6k 4k, (k Z, k khác 0). x2 = − 7 3 = −14 6 = 14 −6 = −35 15=−7k 3k, (k Z, k khác 0). x3 = 5 12 = −5 −12 = −10 −24 = 15 3khác5k 12k, (k Z, k khác 0). x4 = −1,25 = −5 4 = 10 −8 = −15 12=−5k 4k, (k Z, k khác 0). x5 = 6 4 = 3 2 = −3 −2 = 12 8=3k 2k, (k Z, k khác 0). 4! Chú ý: Để chỉ ra được dạng tổng quát của một số hữu tỉ x ta thực hiện theo các bước Bước 1: Biến đổi x về dạng phân số tối giản, giả sử x = m n.
Bước 2: Khi đó, dạng tổng quát của x là x = m · k n · k với k Z và b khác 0. DẠNG 2. So sánh hai số hữu tỉ Phương pháp giải: VÍ DỤ 3. Sử dụng tính chất hãy xem các phân số sau đây có bằng nhau không? −5 6 và 15 −18 a). 12 7 và −47 −28 b). − 17 5 và −5 3 c). LỜI GIẢI. Ta có 1 15 −18 = −15 18 ⇒ −5 6 = −15 18 vì (−5) · 18 = (−15) · 6 = 90. 2 −47 −28 = 47 28 ⇒ 12 7 47 28 vì 12 · 28 = 336 47 · 7 = 329. 3 − 17 5 = −17 5 ⇒ −5 3 −17 5 vì (−5) · 5 = −25 (−17) · 3 = −51. 4! Chú ý: Trong câu b) nếu ta nhận xét rằng 12 7 −47 −28 vì 12 · (−28) = −336 (−47) · 7 = −329 là hoàn toàn sai vì mẫu số âm. Do vậy, khi so sánh hai phân số ta phải biến đổi phân số với mẫu dương thì mới áp dụng được Tính chất 1 và Tính chất 2. VÍ DỤ 4. Hãy so sánh hai số hữu tỉ −0,3 và −1 5 a). −0,6 và 1 −2 b). LỜI GIẢI. 1 Trước tiên, ta biến đổi hai số −0,3 và −1 5 về dạng phân số có cùng mẫu số −0,3 = −0,3 · 10 10 = −3 10, −1 5 = −1 · 2 5 · 2 = −2 10. Tới đây, ta có nhận xét −3 −2 ⇔ −3 10 −2 10 ⇔ −0,3 −1 5. 2 Trước tiên, ta biến đổi hai số −0,6 và 1 −2 về dạng phân số có cùng mẫu số −0,6 = −0,6 · 10 10 = −6 10, 1 −2 = 1 · (−5) (−2) · (−5) = −5 10. Tới đây, ta có nhận xét −6 −5 ⇔ −6 10 −5 10 ⇔ −0,6 1 −2. VÍ DỤ 5 (Bài 5/tr 8 – sgk). Cho x = a m, y = b m. Biết a, b, m Z, m 0 và x y.
Hãy chứng tỏ rằng x a + b 2m y. LỜI GIẢI. Ta viết lại x, y dưới dạng có cùng mẫu số bằng 2m là x = 2a 2m, y = 2b 2m. Từ giả thiết x y ta được a m b m ⇔ a b. (1) Khi đó Cộng hai vế của (1) với a, ta được a + a b + a ⇔ 2a a + b ⇒ 2a 2m a + b 2m ⇔ x a + b 2m. (2) Cộng hai vế của (1) với b, ta được a + b b + b ⇔ a + b 2b ⇒ a + b 2m 2b 2m ⇔ a + b 2m y. (3) Từ (2), (3) ta suy ra điều phải chứng minh. VÍ DỤ 6. Cho a, b Z và b 0. So sánh hai số hữu tỉ a b và a + 1 b + 1. LỜI GIẢI. Để so sánh a b và a + 1 b + 1 ta đi so sánh hai số a(b + 1) và b(a + 1). Xét hiệu a(b + 1) − b(a + 1) = ab + a − (ab + b) = a − b. Ta có ba trường hợp, với điều kiện b 0 Trường hợp 1: Nếu a − b = 0 ⇒ a = b thì a(b + 1) − b(a + 1) = 0 ⇔ a(b + 1) = b(a + 1) a(b + 1) b(b + 1) = b(a + 1) b(b + 1) ⇔ a b = a + 1 b + 1. Trường hợp 2: Nếu a − b 0 ⇒ a b thì a(b + 1) − b(a + 1) 0 ⇔ a(b + 1) b(a + 1) a(b + 1) b(b + 1) b(a + 1) b(b + 1) ⇔ a b a + 1 b + 1. Trường hợp 3: Nếu a − b 0 ⇒ a b thì a(b + 1) − b(a + 1) 0 ⇔ a(b + 1) b(a + 1) a(b + 1) b(b + 1) b(a + 1) b(b + 1) ⇔ a b a + 1 b + 1.
Nhận xét. Với phương pháp được minh họa trong ví dụ trên chúng ta có thể đi thực hiện bài toán tổng quát hơn, cụ thể: Cho a, b, n Z và b, n 0. So sánh hai số hữu tỉ a b và a + n b + n. Khi đó ta có lập luận tương tự như sau: Để so sánh a b và a + n b + n ta đi so sánh hai số a(b + n) và b(a + n). Xét hiệu a(b + n) − b(a + n) = ab + an − (ab + bn) = n(a − b). Ta có ba trường hợp, với điều kiện b, n 0 Trường hợp 1: Nếu n(a − b) = 0 ⇒ a = b thì a(b + n) − b(a + n) = 0 ⇔ a(b + n) = b(a + n) a(b + n) b(b + n) = b(a + n) b(b + n) ⇔ a b = a + n b + n. Trường hợp 2: Nếu n(a − b) 0 ⇒ a b thì a(b + n) − b(a + n) 0 ⇔ a(b + n) b(a + n) a(b + n) b(b + n) b(a + n) b(b + n) ⇔ a b a + n b + n. Trường hợp 3: Nếu n(a − b) 0 ⇒ a b thì a(b + n) − b(a + n) 0 ⇔ a(b + n) b(a + n) a(b + n) b(b + n) b(a + n) b(b + n) ⇔ a b a + n b + n. 1. Bài tập tự luyện.