VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Cộng, trừ số hữu tỉ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Cộng, trừ số hữu tỉ:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y ta làm như sau Bước 1: Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu số dương x = a m và y = b m. Thực hiện phép toán cộng, trừ x + y = a m + b m = a + b m và x − y = a m − b m = a − b m. Nhận xét. Ta thấy Hiệu của hai số hữu tỉ x và y là tổng của x với số đối của y. Phép cộng, trừ các số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện cho chúng. Vì vậy, khi cộng, trừ các số hữu tỉ có mẫu khác nhau, ta quy đồng rồi thực hiện phép toán cộng, trừ các số có cùng mẫu số a b + c d = ad + bc bd và a b − c d = ad − bc bd. Số đối của số hữu tỉ a b là −a b hoặc a −b. Phép cộng trong Q cũng có tính chất cơ bản như phép cộng trong Z, bao gồm: giao hoán, kết hợp, cộng với phần tử trung lập, cộng với số đối. Vì tổng, hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ nên từ một số hữu tỉ chúng ta có thể tách nó thành tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ nào đó (suy luận ngược), điều này đặc biệt quan trọng khi thực hiện các phép tính tổng – Trong phần phương pháp giải các dạng toán chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn tới ý tưởng này. 2. Quy tắc chuyển vế Khi chuyển vế một số từ về này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó. Với mọi x, y, z Q ta có x + y = z ⇔ x = z − y. 4!
Chú ý: Trong Q ta cũng có những tổng đại số, trong đó cũng có thể đổi chỗ các số hạng, nhóm một số hạng bằng dấu ngoặc kèm theo quy tắc đổi dấu. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Cộng, trừ số hữu tỉ Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Hãy thực hiện các phép tính: 3 2 + 2 −3 a). −2 − − 3 7 b). LỜI GIẢI. Ta có 1 Cách 1: 3 2 + 2 −3 = 3 2 + −2 3 = 9 6 + −4 6 = 9 − 4 6 = 5 6. Cách 2: 3 2 + 2 −3 = 3 2 − 2 3 = 9 6 − 4 6 = 9 − 4 6 = 5 6. 2 Cách 1: −2 − − 3 7 = −14 7 − −3 7 = −14 − (−3) 7 = −11 7. Cách 2: −2 − − 3 7 = −14 7 + 3 7 = −14 + 3 7 = −11 7. Nhận xét. Khi đã thành thạo đôi chút, các em học sinh hãy thực hiện các phép toán theo cách 2, đó là “Bỏ dấu ngoặc tồi thực hiện các phép toán cộng, trừ cho những phân số dương.” VÍ DỤ 2. Thực hiện các phép tính: 0,6 + 4 −3 a). 3 7 b) − (−0,2). LỜI GIẢI. 1 Ta có 0,6 + 4 −3 = 3 5 − 4 3 = 9 15 − 20 15 = − 11 15. 2 Ta có 3 7 − (−0,2) = 3 7 + 0,2 = 3 7 + 1 5 = 15 35 + 7 35 = 22 35. VÍ DỤ 3. Tính giá trị của các biểu thức A = 2 3 2 − 3 3 5 + 1 4 a). B = 5 2 7 − 8 1 3 + 1 21 b). LỜI GIẢI. 1 Ta có A = 2 3 2 − 3 3 5 + 1 4 = 7 2 − 18 5 + 1 4 = 70 20 − 72 20 + 5 20 = 70 − 72 + 5 20 = 3 20. 2 Ta có B = 5 2 7 − 8 1 3 + 1 21 = 37 7 − 25 3 + 1 21 = 111 − 175 + 1 21 = − 63 21 = −3. Nhận xét. Trong ví dụ trên, các sỗ hữu tỉ được cho dưới dạng hỗn số. Chính vì vậy trước tiên chúng ta cần chuyển nó về dạng phân số, các em học sinh cần nhớ công thức biến đổi.
VÍ DỤ 4 (Bài 10/tr 10-sgk). Tính giá trị của biểu thức A = 6 − 2 3 + 1 2 − 5 + 5 3 − 3 2 − 3 − 7 3 + 5 2. LỜI GIẢI. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1 : A = 6 · 6 − 2 · 2 + 1 · 3 6 − 5 · 6 + 5 · 2 − 3 · 3 6 − 3 · 6 − 7 · 2 + 5 · 3 6 = 35 6 − 31 6 − 19 6 = − 5 2. Cách 2 : A = 6 − 2 3 + 1 2 − 5 + 5 3 − 3 2 − 3 − 7 3 + 5 2 = (6 − 5 − 3) + − 2 3 − 5 3 + 7 3 + 1 2 + 3 2 − 5 2 = −2 − 1 2 = − 5 2. DẠNG 2. Mở đầu về phương trình Phương pháp giải: VÍ DỤ 5 (Bài 9.a, 9.b/tr 10 -sgk). Tìm x biết x + 1 3 = 3 4 a). x − 2 5 = 5 7 b). LỜI GIẢI. 1 Ta có x + 1 3 = 3 4 ⇔ x = 3 4 − 1 3 = 3 · 3 − 1 · 4 12 = 5 12. Vậy x = 5 12. 2 Ta có x − 2 5 = 5 7 ⇔ x = 5 7 + 2 5 = 5 · 5 + 2 · 7 35 = 39 35. Vậy x = 5 12. VÍ DỤ 6 (Bài 9.c, 9.d/tr 10 -sgk). Tìm x biết −x − 2 3 = − 6 7 a). 4 7 − x = 1 3 b). LỜI GIẢI. 1 Ta có −x − 2 3 = − 6 7 ⇔ x = 6 7 − 2 3 = 6 · 3 − 2 · 7 21 = 4 21. Vậy x = 4 21. 2 Ta có 4 7 − x = 1 3 ⇔ x = 4 7 − 1 3 = 4 · 3 − 1 · 7 21 = 5 21. Vậy x = 5 21. VÍ DỤ 7. Tìm [x] biết x − 8 5 a) −6 x. −1 1 4 x + 2 3 và x − 1 4 b). LỜI GIẢI. 1 Ta có x − 8 5 −6 ⇔ x −6 + 8 5 ⇒ x − 22 5 = −4 2 5. Suy ra −6 x −4 2 5 ⇒ [x] = −5. 2 −1 1 4 x + 2 3 ⇒ x + 2 3 −1 1 4 ⇒ x −1 1 4 − 2 3 = − 5 4 − 2 3 = − 23 12 = −1 11 12 ⇒ x −1 1 12. Suy ra −1 11 2 x − 1 4 ⇒ [x] = −1. VÍ DỤ 8. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức A = x + 2 3 + 1 2 a) với x Q. B = 2 x − 1 2 + 2 b) với x Q. LỜI GIẢI. 1 Vì x + 2 3 ≥ 0 ⇒ x + 2 3 + 1 2 ≥ 1 2. Do đó Amin = 1 2, đạt được khi x + 2 3 = 0 ⇔ x = − 2 3. 2 Vì x − 1 2 ≥ 0 ⇒ x − 1 2 + 2 ≥ 2 ⇒ 1 x − 1 2 + 2 ≤ 1 2 ⇔ 2 x − 1 2 + 2 ≤ 1.
Do đó Amax = 1, đạt được khi x − 1 2 = 0 ⇔ x = 1 2. DẠNG 3. Biểu diễn một số hữu tỉ thành tổng hoặc hiệu của các số hữu tỉ khác Phương pháp giải: VÍ DỤ 9. Viết số hữu tỉ 5 12 dưới các dạng sau đây 1 Tổng của hai số hữu tỉ dương. 2 Tổng của một số hữu tỉ dương và một số hữu tỉ âm. 3 Tổng của hai số hữu tỉ dương trong đó một số là 1 4 LỜI GIẢI. 1 Ta có 5 12 = 2 + 3 12 = 2 12 + 3 12 = 1 6 + 1 4. 2 Ta có 5 12 = 7 + (−2) 12 = 7 12 + −2 12 = 7 12 − 1 12. 3 Giả sử số hữu tỉ còn lại cần tìm là x, ta được 5 12 = x + 1 4 ⇔ x = 5 12 − 1 4 = 2 12 = 1 6. Vậy ta có biểu diễn 5 12 = 1 6 + 1 4. 4! Chú ý: Việc tách một số hữu tỉ thành hiệu của hai số (hoặc gọi là tổng của hai số hữu tỉ trái dấu) mang một ý nghĩa quan trọng, nó được sử dụng rất nhiều trong những toán tính tổng. Ví dụ sau sẽ minh họa cho việc sử dụng phép tách cho số 1 k · (k + 1) = (k + 1) − k k · (k + 1) = 1 k − 1 k + 1 với k N VÍ DỤ 10. Tính tổng S = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 999 · 1000.
LỜI GIẢI. Nhận thấy rằng với k N, ta luôn có 1 k · (k + 1) = (k + 1) − k k · (k + 1) = 1 k − 1 k + 1. Suy ra 1 1 · 2 = 1 − 1 2. 1 2 · 3 = 1 2 − 1 3. · · · 1 999 · 1000 = 1 999 − 1 1000. Vậy S = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 999 − 1 1000 = 1 − 1 1000 = 999 1000. Nhận xét. Khi gặp bài toán này, rất nhiều em học sinh tỏ ra lúng túng, bởi nghĩ rằng 1 1 · 2 = 1 1 · 1 2, tức là cần có kiến thức về phép nhân hai số hữu tỉ (kiến thức này chưa học), tuy nhiên ở đây chúng ta đã sử dụng phép tách một số hữu tỉ thành hiệu của hai số hữu tỉ. Với phương pháp thực hiện tương tự trên, chúng ta sẽ có được kết quả tổng quát: 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 k · (k + 1) = k k + 1. 1. Bài tập tự luyện.