VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Nghiệm của đa thức một biến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Nghiệm của đa thức một biến:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó. 4! Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm,… hoặc không có nghiệm (gọi là vô nghiệm). Định lí 1. Một đa thức (khác đa thức 0) có số nghiệm không vượt quá bậc của nó. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Cho đa thức: Q(x) = x 3 − 9x. Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ba nghiệm x = −3, x = 0, x = 3. LỜI GIẢI. Ta có Q(−3) = (−3)3 − 9(−3) = 0. Suy ra x = −3 là một nghiệm của đa thức Q(x). Ta có Q(0) = 03 − 9 · 0 = 0 − 0 = 0. Suy ra x = 0 là một nghiệm của đa thức Q(x). Ta có Q(3) = 33 − 9 · 3 = 27 − 27 = 0. Suy ra x = 3 là một nghiệm của đa thức Q(x). VÍ DỤ 2. Chứng tỏ rằng đa thức R(y) = y 2 + 2 vô nghiệm. LỜI GIẢI. Ta có nhận xét sau: R(y) = y 2 + 2 ≥ 0 + 2 > 0 (với mọi y).
Do đó R(y) vô nghiệm. VÍ DỤ 3. Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2x + 3. LỜI GIẢI. Nghiệm của đa thức thỏa mãn: P(x) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 ⇔ 2x = −3 ⇔ x = − 3 2. Vậy x = − 3 2 là nghiệm của đa thức P(x). VÍ DỤ 4. Chứng tỏ rằng nếu a+b+c = 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) = ax2 +bx+c. Ngoài ra nếu a 6= 0 thì x = c a cũng là nghiệm của đa thức f(x). LỜI GIẢI. Vì x = 1 là nghiệm của f(x) suy ra f(1) = 0 ⇔ a · 1 2 + b · 1 + c = 0, điều này nghĩa là a + b + c = 0. Với a 6= 0. Xét f c a = a · c a 2 + b · c a + c = c a (c + b + a) = 0 (vì a + b + c = 0). 4! Áp dụng kết quả trên, ta có thể tìm được nghiệm của các đa thức f(x) = ax2+bx+c có a+b+c = 0. Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này. VÍ DỤ 5. Tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 3x 2 − 7x + 4. LỜI GIẢI. Ta có 3 − 7 + 4 = 0, do đó đa thức f(x) có các nghiệm là x = 1, x = 4 3.
VÍ DỤ 6. Tìm mối liên hệ của a, b, c, d để x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. LỜI GIẢI. Để x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) thì cần có f(1) = 0 ⇔ a + b + c + d = 0. Vậy với a + b + c + d = 0 thì f(x) nhận x = 1 làm nghiệm. VÍ DỤ 7. Chứng tỏ rằng đa thức x 2 + 2x + 3 không có nghiệm. LỜI GIẢI. Ta có x 2 + 2x + 3 = x 2 + x + x + 1 + 2 = x(x + 1) + (x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2 > 0 (với mọi x). Do đó đa thức x 2 + 2x + 3 không có nghiệm. C BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho đa thức: Q(x) = x 2 − 8x + 7. Kiểm nghiệm rằng đa thức Q(x) có hai nghiệm x = 1, x = 7. LỜI GIẢI. Ta có: Q(1) = 12 − 8 · 1 + 7 = 1 − 8 + 7 = 0 ⇒ x = 1 là một nghiệm của đa thức Q(x). Q(7) = 72 − 8 · 7 + 7 = 49 − 56 + 7 = 0 ⇒ x = 7 là một nghiệm của đa thức Q(x). BÀI 2. Tìm nghiệm của các đa thức: a) x + 8; b) 3x − 7.
LỜI GIẢI. 1 Nghiệm của đa thức x + 8 thỏa mãn x = 8 = 0 ⇔ x = −8. Vậy x = −8 là nghiệm của đa thức x + 8. 2 Nghiệm của đa thức 3x − 7 thỏa mãn 3x − 7 = 0 ⇔ 3x = 7 ⇔ x = 7 3. Vậy x = 7 3 là nghiệm của đa thức 3x − 7. BÀI 3. Tìm nghiệm của các đa thức: a) (x − 2)(2x + 8); b) (3x − 9)(2x + 5). LỜI GIẢI. 1 Nghiệm của đa thức (x − 2)(2x + 8) thỏa mãn: (x − 2)(2x + 8) = 0 ⇔ x − 2 = 0 hoặc 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4. Vậy x = 2 hoặc x = −4 là nghiệm của đa thức (x − 2)(2x + 8). 2 Nghiệm của đa thức (3x − 9)(2x + 5) thỏa mãn: (3x − 9)(2x + 5) = 0 ⇔ 3x − 9 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = − 5 2. Vậy x = 3 hoặc x = − 5 2 là nghiệm của đa thức (3x − 9)(2x + 5). BÀI 4. Tìm nghiệm của các đa thức: (x − 3)(x a) 2 + 1); (x 2 + 2)(x b) 2 − 3). LỜI GIẢI. 1 Nghiệm của đa thức (x − 3)(x 2 + 1) thỏa mãn: (x − 3)(x 2 + 1) = 0 ⇔ x − 3 = 0 hoặc x 2 + 1 = 0 (vô nghiệm) ⇔ x = 3. Vậy x = 3 là nghiệm của đa thức (x − 3)(x 2 + 1).
2 Nghiệm của đa thức (x 2 + 2)(x 2 − 3) thỏa mãn: (x 2 + 2)(x 2 − 3) = 0 ⇔ x 2 + 2 = 0 (vô nghiệm) hoặc x 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 = 3 ⇔ x = ± √ 3. Vậy x = ± √ 3 là nghiệm của đa thức (x 2 + 2)(x 2 − 3). BÀI 5. Chứng tỏ rằng nếu a − b + c = 0 thì x = −1 là nghiệm của đa thức: f(x) = ax2 + bx + c. Ngoài ra nếu a 6= 0 thì x = − c a cũng là nghiệm của đa thức f(x). LỜI GIẢI. Ta có: f(−1) = a · (−1)2 + b · (−1) + c = a − b + c = 0 ⇔ x = −1 là nghiệm của đa thức f(x). Với a 6= 0, ta có: f(− c a) = a · − c a 2 + b · − c a + c = c 2 a − bc a + c = c a (c − b + a) = 0 ⇔ x = − c a là nghiệm của đa thức f(x). BÀI 6. Tìm các nghiệm của các đa thức: f(x) = x a) 2 − 4x + 3; g(x) = 2x b) 2 − 5x + 3. LỜI GIẢI. a) x = 1, x = 3. x = 1, x = 3 2 b). BÀI 7. Tìm các nghiệm của các đa thức: f(x) = x a) 2 + 4x + 3; g(x) = 6x b) 2 − 5x − 11. LỜI GIẢI. a) x = −1, x = −3. x = −1, x = 11 6 b). BÀI 8. Tìm một nghiệm của các đa thức: f(x) = x 3 + 2x a) 2 − 8x + 5; g(x) = x 3 − 2x b) 2 + 1.
LỜI GIẢI. a) x = 1; b) x = 1. BÀI 9. Tìm mối liên hệ của a, b, c, d để x = −1 là nghiệm của đa thức: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. LỜI GIẢI. Ta có: x = −1 là nghiệm của đa thức f(x) ⇔ f(−1) = 0 ⇔ a · (−1)3 + b · (−1)2 + c · (−1) + d = 0 ⇔ −a + b − c + d = 0. BÀI 10. Chứng tỏ rằng các đa thức sau không có nghiệm. x a) 2 + 1; x b) 2 − 4x + 5; x c) 2 + x + 1; x d) 2 − x + 1. LỜI GIẢI. 1 Ta có: x 2 + 1 ≥ 0 + 1 ≥ 1. Do đó, đa thức x 2 + 1 không có nghiệm 2 Ta có: x 2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 ≥ 0 + 1 ≥ 1. Do đó, đa thức x 2 − 4x + 5 không có nghiệm. 3 Ta có: x 2 + x + 1 = Å x + 1 2 ã2 + 3 4 ≥ 0 + 3 4 ≥ 3 4. Do đó, đa thức x 2 + x + 1 không có nghiệm. 4 Ta có: x 2 − x + 1 = Å x − 1 2 ã2 + 3 4 ≥ 0 + 3 4 ≥ 3 4. Do đó, đa thức x 2 − x + 1 không có nghiệm.