VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Đại lượng tỉ lệ thuận, một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Đại lượng tỉ lệ thuận, một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx, với k là hằng số khác 0, thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. 4! Cho y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k, tức là y = kx hay x = 1 k y. Khi đó x cũng tỉ lệ thuận với y, do vậy ta thường nói hai đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1 k. Tính chất 1. Nếu hai đại lượng x, y tỉ lệ thuận với nhau (tức là y = kx) thì 1 Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi, tức là y1 x1 = y2 x2 = y3 x3 = · · · = yn xn = k; x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = · · · = xn yn = 1 k. 2 Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia, tức là xm xn = ym yn. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận để giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. 1 Hãy biểu diễn y theo x. 2 Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? LỜI GIẢI. 1 Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2 nên y = 2x. 2 Từ y = 2x suy ra x = 1 2 y. Vậy x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ bằng 1 2. VÍ DỤ 2. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 6 thì y = 4. a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x. b) Hãy biểu diễn y theo x. c) Tính giá trị của y khi x = 9, x = 15. LỜI GIẢI. 1 Ta có y = kx suy ra k = y x = 4 6 = 2 3. 2 Theo câu trên, ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2 3 nên y = 2 3 x. 3 Ta sử dụng bảng sau để tính giá trị của y theo x x 9 15 y = 2 3 x 6 10 4! Với bảng biểu diễn trong câu này, ta thấy đã có đầy đủ thông tin theo yêu cầu của bài ra. Do đó, trong hầu hết các trường hợp ta thường cho bài toán dưới dạng “Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng kèm theo”. Ví dụ sau sẽ minh họa cụ thể nhận xét này. VÍ DỤ 3. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −2 −1 3 y 3 −27.
LỜI GIẢI. Vì x và y tỉ lệ thuận với nhau nên ta giả sử y = kx suy ra k = y x. Dựa vào thông tin trong cột thứ 3 ta có k = 3 −1 = −3. Vậy y = −3x. Khi đó ta viết y = −3x vào dòng 2 cột 1 và từ đây ta sẽ điền được các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể ta có bảng sau x −2 −1 3 9 y = −3x 6 3 −9 −27 4! Như vậy, hai ví dụ đã qua chỉ đi sâu khai thác tính chất đầu tiên của hai đại lượng tỉ lệ thuận. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là “Tính chất thứ hai được sử dụng để làm gì?”. Câu trả lời sẽ là “Nó được sử dụng trong dạng toán thực nghiệm”, tức là “Cho một bảng với các giá trị x và y tương ứng. Hỏi hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau không?”. Để trả lời được câu hỏi này, chúng ta chỉ cần thêm dòng y x vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó, khi đó Nếu các giá trị y x không đổi thì ta kết luận x và y tỉ lệ thuận với nhau. Ngược lại, kết luận x và y không tỉ lệ thuận với nhau. VÍ DỤ 4. Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong bảng sau x −2 −1 3 5 y 4 2 −6 −10 Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không? Vì sao? LỜI GIẢI. Thêm dòng y x vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó ta được x −2 −1 3 5 y 4 2 −6 −10 y x −2 −2 −2 −2 Từ kết quả trong bảng trên, ta kết luận x và y tỉ lệ thuận với nhau. DẠNG 2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận Phương pháp giải: VÍ DỤ 5. Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 cm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4. LỜI GIẢI. Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (a b). Từ giả thiết ta có 2(a + b) = 28 cm hay a + b = 14 cm. Lại có a 3 = b 4 ⇒ a 3 = b 4 = a + b 3 + 4 = 14 7 = 2.
Từ đó suy ra a = 6 cm và b = 8 cm. 4! Yêu cầu đặt ra trong bài toán này chỉ có tính minh họa cho dạng toán tổng quát: “Tìm hai địa lượng tỉ lệ thuận x, y thỏa mãn điều kiện K cho trước”. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Dựa vào điều kiện K thiết lập biểu thức S = k1x + k2y. Bước 2: Từ giả thiết về sự tỉ lệ thuận của x và y, ta có x a1 = y a2 ⇒ x a1 = y a2 = k1x k1a1 = k2y k2a2 = k1x + k2y k1a1 + k2a2. Từ đây, chúng ta nhận được x và y. VÍ DỤ 6. Cho tam giác ABC có số đo các góc Ab, B“, Cb lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. Tính số đo các góc của tam giác ABC. LỜI GIẢI. Trong tam giác ABC, ta có Ab + B“+ Cb = 180◦. Từ giả thiết ta có Ab 1 = B“ 2 = Cb 3 ⇒ Ab 1 = B“ 2 = Cb 3 = Ab + B“+ Cb 1 + 2 + 3 = 180◦ 6 = 30◦. Từ đó suy ra Ab = 30◦, B“ = 60◦, Cb = 90◦. Vậy ta được số đo các góc của tam giác ABC là Ab = 30◦, B“ = 60◦, Cb = 90◦. 4! 1 Yêu cầu đặt ra trong bài toán này chỉ có tính minh họa cho dạng toán tổng quát: “Tìm ba đại lượng tỉ lệ thuận x, y, z thỏa mãn điều kiện K cho trước”. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Dựa vào điều kiện K, thiết lập biểu thức S = k1x + k2y + k3z. Bước 2: Từ giả thiết về sự tỉ lệ thuận của x, y và z ta có x a1 = y a2 = z a3 ⇒ k1x k1a1 = k2y k2a2 = k3z k3a3 = k1x + k2y + k3z k1a1 + k2a2 + k3a3. Từ đây chúng ta nhận được x, y và z. 2 Và thông qua hai bài toán này chúng ta có được phương pháp giải trong trường hợp cần tìm n đại lượng tỉ lệ thuận x, y, z, t,… C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Cho y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = − 3 4. a) Hãy biểu diễn y theo x. b) Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? LỜI GIẢI. 1 Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = − 3 4 nên y = − 3 4 x. 2 Từ y = − 3 4 x suy ra x = − 4 3 y. Vậy x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ bằng − 4 3. BÀI 2. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = −2 thì y = 8. 1 Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x. 2 Hãy biểu diễn y theo x. 3 Tính giá trị của y khi x = −2, x = −1, x = 2, x = 6.
LỜI GIẢI. 1 Ta có y = kx suy ra k = y x = 8 −2 = −4. 2 Theo câu trên, ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = −4 nên y = −4x. 3 Ta sử dụng bảng sau để tính giá trị của y theo x x −2 −1 2 6 y = −4x 8 4 −8 −24 BÀI 3. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −12 −6 −3 3 9 y 1 5 9 LỜI GIẢI. Vì x và y tỉ lệ thuận với nhau nên ta giả sử y = kx suy ra k = y x. Dựa vào thông tin cột thứ 5 ta có k = 1 3. Vậy y = 1 3 x. Khi đó ta viết y = 1 3 x vào dòng 2 cột 1 và từ đây ta sẽ điền được các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể ta có bảng sau x −12 −6 −3 3 9 15 27 y = 1 3 x −4 −2 −1 1 3 5 9 BÀI 4. Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong bảng sau x −8 −6 2 4 y 16 12 −4 −8 Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không? Vì sao? LỜI GIẢI. Thêm dòng y x vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó ta được x −8 −6 2 4 y 16 12 −4 −8 y x −2 −2 −2 −2 Từ kết quả trong bảng trên, ta kết luận x và y tỉ lệ thuận với nhau. BÀI 5. Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 cm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 2; 5. LỜI GIẢI. Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (a b). Từ giả thiết ta có 2(a + b) = 28 cm hay a + b = 14 cm. Lại có a 2 = b 5 ⇒ a 2 = b 5 = a + b 2 + 5 = 14 7 = 2. Từ đó suy ra a = 4 cm và b = 10 cm. BÀI 6. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật, biết hai cạnh tỉ lệ với 1; 3 và cạnh lớn dài hơn cạnh nhỏ là 8 cm. LỜI GIẢI. Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (a b). Từ giả thiết ta có a − b = 8 cm. Lại có a 3 = b 1 ⇒ a 3 = b 1 = a − b 3 − 1 = 8 2 = 4. Từ đó suy ra a = 12 cm và b = 4 cm.
BÀI 7. Cho tam giác ABC có số đo các góc Ab, B“, Cb lần lượt tỉ lệ với 1; 4; 7. Tính số đo các góc của tam giác ABC. LỜI GIẢI. Trong tam giác ABC, ta có Ab + B“+ Cb = 180◦. Từ giả thiết ta có Ab 1 = B“ 4 = Cb 7 ⇒ Ab 1 = B“ 4 = Cb 7 = Ab + B“+ Cb 1 + 4 + 7 = 180◦ 12 = 15◦. Từ đó suy ra Ab = 15◦, B“ = 60◦, Cb = 105◦. Vậy ta được số đo các góc của tam giác ABC là Ab = 15◦, B“ = 60◦, Cb = 105◦. BÀI 8. Cho tam giác ABC có số đo các góc Ab, B“, Cb lần lượt tỉ lệ với 3; 5; 7. Tính số đo các góc của tam giác ABC. LỜI GIẢI. Trong tam giác ABC, ta có Ab + B“+ Cb = 180◦. Từ giả thiết ta có Ab 3 = B“ 5 = Cb 7 ⇒ Ab 3 = B“ 5 = Cb 7 = Ab + B“+ Cb 3 + 5 + 7 = 180◦ 15 = 12◦. Từ đó suy ra Ab = 36◦, B“ = 60◦, Cb = 84◦. Vậy ta được số đo các góc của tam giác ABC là Ab = 36◦, B“ = 60◦, Cb = 84◦. BÀI 9. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 22 cm và các cạnh a, b, c của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác. LỜI GIẢI. Từ giả thiết ta có a + b + c = 22 cm. Lại có a 2 = b 4 = c 5 ⇒ a 2 = b 4 = c 5 = a + b + c 2 + 4 + 5 = 22 11 = 2. Từ đó suy ra a = 4 cm, b = 8 cm và c = 10 cm. BÀI 10. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c của tam giác tỉ lệ với các số 3; 4; 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết rằng cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất 6 cm. LỜI GIẢI. Từ giả thiết ta có c − a = 6 cm. Lại có a 3 = b 4 = c 5 ⇒ a 3 = b 4 = c 5 = c − a 5 − 3 = 6 2 = 3. Từ đó suy ra a = 9 cm, b = 12 cm và c = 15 cm.