Hai đường thẳng vuông góc

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai đường thẳng vuông góc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Hai đường thẳng vuông góc:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Thế nào là hai đường thẳng vuông góc ? Định nghĩa 1. Hai đường thẳng a, b cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là a ⊥ b. 4! Hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau (và cắt nhau tại O) còn được gọi là: “Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b (tại O)”. Hoặc “Đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a (tại O)”. Hoặc “Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau (tại O)”. 2. Về hai đường thẳng vuông góc Tính chất 1. Qua một điểm chỉ kẻ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Bài toán: Cho một điểm O và một đường thẳng a. Hãy vẽ đường thẳng b đi qua O và vuông góc với đường thẳng a. Cách thực hiện Ta xét hai trường hợp về vị trí của điểm O so với đường thẳng a. Trường hợp 1: Nếu điểm O nằm trên đường thẳng a. Cách vẽ đường thẳng b được minh họa qua các hình vẽ. O a a O a O Hình ban đầu. Đặt eke như trên. Vẽ đường thẳng qua O như hình vẽ. Trường hợp 2: Nếu điểm O nằm ngoài đường thẳng a. Cách vẽ đường thẳng b được minh họa qua các hình vẽ. O a a O O a Hình ban đầu. Đặt eke như trên. Vẽ đường thẳng qua O như hình vẽ. 3. Đường trung trực của đoạn thẳng Định nghĩa 2. Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. 4! Khi a là đường trung trực của đoạn thẳng AB ta cũng nói “Hai điểm A và B đối xứng qua đường thẳng a”.
Như vậy, để dựng được đường trung trực của đoạn AB cho trước, chúng ta thực hiện các bước: Lấy điểm O là trung điểm của AB. Dựng đường thẳng qua O vuông góc với AB. Đường thẳng này là đường trung trực của đoạn AB. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Vẽ hình theo cách diễn đạt “Vẽ góc xOy có số đo bằng 60◦”. Lấy điểm A trên tia Ox rồi vẽ đường thẳng a vuông góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên đường thẳng a rồi vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy ”. LỜI GIẢI. Thực hiện: Vẽ góc xOy = 60◦, sau đó lấy điểm A trên tia Ox. Sử dụng phương pháp trong bài toán với trường hợp 1, ta dựng được đường thẳng a đi qua A và vuông góc với Ox. Lấy điểm B trên đường thẳng a, khi đó ta có thể có các trường hợp sau: O A x y 60 ◦ Trường hợp 1: Lấy điểm B trùng với điểm A, ta được hình vẽ: O A B x y b a Trường hợp 2: Lấy điểm B nằm trong góc xOy, ta được hình vẽ: O A B x y a b Trường hợp 3: Lấy điểm B giao điểm của a với Oy, ta được hình vẽ: O A x y a B Trường hợp 4: Lấy điểm B ngoài góc xOy (có hai khả năng), ta được hình vẽ: O A B x y a b O A B x y a b VÍ DỤ 2. Vẽ hình theo cách diễn đạt “Vẽ đoạn thẳng AB = 4cm và đoạn thẳng BC = 6cm rồi vẽ đường trung trực của mỗi đoạn AB và BC”. LỜI GIẢI. Thực hiện: Vẽ đoạn AB = 4cm. Lấy điểm E là trung điểm AB (E nằm giữa A, B và EA = 2cm). Vẽ đoạn BC = 6cm. Lấy điểm F là trung điểm BC (F nằm giữa B, C và F B = 3cm). Dựng đường thẳng a qua E vuông góc với AB (Sử dụng phương pháp trong bài toán với trường hợp 1 ).
Dựng đường thẳng b qua F vuông góc với BC (Sử dụng phương pháp trong bài toán với trường hợp 1 ). Với các bước làm như trên chúng ta có được hình cần vẽ, tuy nhiên ở đây chúng ta nhận được hai hình bới A, B, C có thể thẳng hàng hoặc không thẳng hằng. A E B F C a b A B C E F a b VÍ DỤ 3. Cho góc tù AOB. Trong góc AOB vẽ các tia OC ⊥ OA và OD ⊥ OB. 1 Chứng minh AOD = BOC. 2 Chứng minh AOB + COD = 180◦. 3 Gọi Ox, Oy theo thứ tự là tia phân giác của các góc AOD và BOC. Chứng minh Ox ⊥ Oy. LỜI GIẢI. a) Vì các tia OC và OD ở trong góc AOB nên: AOD = AOC − COD = 90◦ − COD. (1) BOC = BOD − COD = 90◦ − COD. (2) Từ (1) và (2), suy ra: 90◦ − COD = 90◦ ⇔ AOD = BOC. A D C y x O B b) Ta có AOB + COD = (AOC + BOC ) + COD = AOC + BOC + COD = AOC + BOD = 90◦ + 90◦ = 180◦. c) Từ giả thiết, ta có: AOD = 2 · xOD. Mặt khác, ta lại có: xOy = xOD + DOC + COy = 2 · xOD + DOC = AOD + DOC = AOC = 90◦. Vậy Ox ⊥ Oy. C BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Hãy trình bày cách vẽ đường trung trực của đoạn AB. LỜI GIẢI. Ta thực hiện các bước: Lấy điểm O là trung điểm của AB. Dựng đường thẳng qua O vuông góc với AB. Đường thẳng này là đường trung trực của đoạn AB. A O B a BÀI 2. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. a) Hãy trình bày các vẽ các đường trung trực của các đoạn AB, BC, CA. b) Có nhận xét gì về ba đường trung tuyến trên.
LỜI GIẢI. B C A P N M a b c a) Các đường trung trực của các đoạn AB, BC, CA lần lượt là c, b, a. b) Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm – Điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. BÀI 3. Cho hình chữ nhật ABCD. a) Hãy trình bày các vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, CD. Có nhận xét gì vế hai đường trung trực này. b) Hãy trình bày cách vẽ các đường trung trực của các đoạn AD, BC. Có nhận xét gì về hai đường trung trực này. c) Nhận xét gì về hai đường trung trực AB và AD. LỜI GIẢI. a) Vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, CD. Hai đường trung trực này trùng nhau chính là đường thẳng c. b) Vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AD, BC. Hai đường trung trực này trùng nhau chính là đường thẳng d. c) Hai đường thẳng c và d vuông góc với nhau. D C A I B K c d P Q BÀI 4. Vẽ hình theo cách diễn đạt “Vẽ góc xOy có số đó bằng 45◦. Lấy điểm A trên tia Ox rồi vẽ đường thẳng a vuông góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên đường thẳng a rồi vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy”. LỜI GIẢI. Thực hiện: Vẽ góc xOy = 45◦, sau đó lấy điểm A trên tia Ox. Sử dụng phương pháp trong bài toán với trường hợp 1, ta dựng được đường thẳng a đi qua A và vuông góc với Ox. Lấy điểm B trên đường thẳng a, khi đó ta có thể có các trường hợp sau: O A x y 45.
Trường hợp 1: Lấy điểm B trùng với điểm A, ta được hình vẽ: O A B x y a b Trường hợp 2: Lấy điểm B nằm trong góc xOy, ta được hình vẽ: O A B x y a b Trường hợp 3: Lấy điểm B giao điểm của a với Oy, ta được hình vẽ: O A x y a B b Trường hợp 4: Lấy điểm B ngoài góc xOy (có hai khả năng), ta được hình vẽ: O A B x y a b O A B x y a b BÀI 5. Vẽ hình theo cách diễn đạt “Vẽ góc xOy có số đó bằng 80◦. Lấy điểm A trên tia Ox rồi vẽ đường thẳng a vuông góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên đường thẳng a rồi vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy”. LỜI GIẢI. Thực hiện: Vẽ góc xOy = 80◦, sau đó lấy điểm A trên tia Ox. Sử dụng phương pháp trong bài toán với trường hợp 1, ta dựng được đường thẳng a đi qua A và vuông góc với Ox. Lấy điểm B trên đường thẳng a, khi đó ta có thể có các trường hợp sau: O A x y 80 ◦ Trường hợp 1: Lấy điểm B trùng với điểm A, ta được hình vẽ: O A B x y a b Trường hợp 2: Lấy điểm B nằm trong góc xOy, ta được hình vẽ: O A B x y a b Trường hợp 3: Lấy điểm B giao điểm của a với Oy, ta được hình vẽ: O A x y a B b Trường hợp 4: Lấy điểm B ngoài góc xOy (có hai khả năng), ta được hình vẽ: O A B x y a b O A B x y a b BÀI 6. Chứng minh rằng góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. LỜI GIẢI. Xét góc xOy có góc kề bù là góc xOz. Gọi tia Ot, Ok lần lượt là tia phân giác của các góc xOy và xOz. Khi đó, ta có: 180◦ = xOy + xOz = 2 · xOt + 2 · xOk. Vậy xOt + xOk = 90◦, hay là Ot ⊥ Ok. x z t k O y.
BÀI 7. Cho góc xOy và tia Oz nằm trong góc đó sao cho xOz = 4 · yOz. Tia phân giác Ot của góc xOz thỏa mãn Ot ⊥ Oy. Tính số đo của góc xOy. LỜI GIẢI. Ta có zOy = xOy + yOz = 4 · yOz + yOz = 5 · yOz (1). Mặt khác, ta lại có: yOt d = 90◦ ⇔ 90◦ = yOz + zOt d = yOz + 1 2 xOz = 3 · yOz ⇔ yOz = 30◦ (2). Thay (2) vào (1), ta được: xOz = 5 · 30◦ = 150◦. Vậy xOy = 150◦. x t z O y BÀI 8. Cho góc AOB = 90◦. Trong góc AOB vẽ các tia OC, OD sao cho AOC = BOD = 60◦. a) Tính số đo của các góc AOD, DOC, COB. b) Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng OA và chứa tia OB ta vẽ tia OE sao cho OB là phân giác của góc DOE. Chứng minh rằng OC ⊥ OE. LỜI GIẢI. a) Ta có AOD = AOB − BOD = 90◦ − 60◦ = 30◦. (1.1) BOC = AOB − AOC = 90◦ − 60◦ = 30◦. (1.2) COD = AOB − AOD = 90◦ − 60◦ = 30◦. (1.3) b) Ta có ngay: COE = COB +BOE = COB +BOD = 30◦+60◦ = 90◦ ⇔ OC ⊥ OE. E B D C O A BÀI 9. Cho góc tù AOB. Trong góc AOB vẽ tia OC sao cho AOC + AOB = 180◦. Vẽ tia phân giác OD của góc BOC. a) BOC + 2 · AOC = 180◦. b) Chứng minh rằng OA ⊥ OD. LỜI GIẢI. a) Theo giả thiết, ta có 180◦ = AOC +AOB = AOC + Ä AOC + BOC ä = 2·AOC +BOC. b) Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOC = 2 ·DOC. Kết hợp với câu a), ta có 180◦ = 2 · DOC + 2 · AOC Do đó: AOC + DOC = 90◦. Hay là OA ⊥ OD.