VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng. Phương pháp: Dùng tính chất thứ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi (a) và (B) là mặt phẳng qua điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC). a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(a). b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(B). c. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của (a) và (B) với AC và BD. Chứng minh tứ giác OHMK là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta có: (a) // (SBD). Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA. Khi đó: ME = (a) (SAD). Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE. Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD. Ta có: (B) // (SAC). Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF. c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong mp(a) và MP chứa trong mp(B) nên H chính là giao điểm của AC với mp(a) và K chính là giao điểm của BD với mp($). Ta có MN || BD nên MH || OK, MP || AC nên MK || HO. Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A, B, C, D. Chứng minh: a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. b. AA’ + CC’ = BB’ + DD’. Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D là hình bình hành. b. Gọi O và O lần lượt là tâm các hình bình hành A1 ABCD và A’B’C’D’. Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình thang AA_CC và hình thang BB’D’D.
Do đó: AA’ + CC’ = 2OO và BB’ + DD’ = 2OO. Vậy AA + CC’ = BB’ + DD’. Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng (a) chứa MN cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q. a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q. b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng KP = KQ. Ta có (a) là mp(MNP). Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E. Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q. Vậy (a) chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm. b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần lượt có các điểm A, M, B và C, N, D định ra các tỉ số bằng nhau. Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba mặt phẳng song song. Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q. Vậy K là trung điểm của PQ.