VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh hai mặt phẳng song song:
Chứng minh hai mặt phẳng song song. Phương pháp. Áp dụng kết quả sau: Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD // BC, AD = 2BC. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD. a. Chứng minh (EFB) // (SCD). Từ đó chứng minh CI // (EFB). b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh (SBF) // (KCD). EF // SD (EF là đường trung bình của tam giác SAD). BF // CD (BC // FD, BC = FD). Suy ra (EFB) // (SCD). Mà CIC(SCD) nên CI // (EFB). b. Ta có: BC // AD. Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra SF // KD. Mặt khác BF // CD nên (SBF) (KCD).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a. Chứng minh mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau. b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD). ON // BC (ON là đường trung bình của tam giác BCD). OM // SC (OM là đường trung bình của tam giác SAC). b. Từ E kẻ đường thẳng EP // AD (P thuộc AB) (1) Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam giác cân. Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh EF // (SAD) như sau: Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được. Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD.
Mặt khác BC // AD nên EF song song với mặt phẳng (SAD). Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC, DD’ song song với nhau. a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA”) và (BD’C) song song với nhau. b. Chứng minh rằng đường chéo AC đi qua trọng tâm G và GO lần lượt của hai tam giác BDA và B’D’C. c. Chứng minh G và GO chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau. A’B // D’C (vì tứ giác A’BCD là hình bình hành). BD // B’D’ (vì tứ giác ABD’D là hình bình hành), suy ra mp(BDA’) // mp(B’D’C). Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì AO là đường trung tuyến của tam giác A’AC). Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G thuộc AQ, G thuộc AC. Tương tự ta có G là trọng tâm của tam giác BDC và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C.